１辺の長さnの正六角形の格子の中に正六角形はいくつ？

質問

１辺の長さnの正六角形の格子の中に，正六角形はいくつあるのでしょうか？

図はn=4のときで、64個あるそうなのですが。

回答No.3

noname#227064 · ベストアンサー

気付いていると思いますが、間違いがありましたので訂正します。
（誤）
> 長さがn-2の場合は、n-2での点に加えてその周りの12点を含めた計19点となります。
（正）
> 長さがn-2の場合は、n-1での点に加えてその周りの12点を含めた計19点となります。

訂正ついでに、何故n^3になるか説明をしておきましょう。
一辺の長さがnである正六角形の格子の中で、長さがkの正六角形の中心点となりうる点は、長さがk+1の場合での点とその周りの6(n-k)個の点となります。
i=nのときは中心となりうる点は1個しかないため、長さがkの場合中心となりうる点の数は、
1+Σ6(n-i)（ただしΣはi=n-1～k）
= 1+6n(n-k)-6{(n-1)n/2-(k-1)k/2}
= 1+6n^2-6kn-3n^2+3n+3k^2-3k
= 3k^2-3(2n+1)k+3n^2+3n+1
となります。
したがって求める答えは、
Σ(3k^2-3(2n+1)k+3n^2+3n+1)（ただしΣはk=n～1）
= 3n(n+1)(2n+1)/6-3(2n+1)n(n+1)/2+(3n^2+3n+1)n
= n(n+1)(2n+1)(1/2-3/2)+(3n^2+3n+1)n
= -n(n+1)(2n+1)+(3n^2+3n+1)n
= n(-2n^2-3n-1+3n^2+3n+1)
= n^3

お礼

皆様、ありがとうございました。

回答No.2

chie65536

n:式=個数
1:1
2:1+1+1*6=8
3:1+1+1*6+1+1*6+2*6=27
4:1+1+1*6+1+1*6+2*6+1+1*6+2*6+3*6=64
5:1+1+1*6+1+1*6+2*6+1+1*6+2*6+3*6+1+1*6+2*6+3*6+4*6=125
6:1+1+1*6+1+1*6+2*6+1+1*6+2*6+3*6+1+1*6+2*6+3*6+4*6+1+1*6+2*6+3*6+4*6+5*6=216
(以下略)
答え「ｎの３乗」

回答No.1

noname#227064

一辺の長さがnである正六角形の中心となることができる格子点は、一つしかありません。
長さがn-1の場合は、先ほどの点に加えてその周りの6点を含めた計7点となります。
長さがn-2の場合は、n-2での点に加えてその周りの12点を含めた計19点となります。
同様に長さが1の場合まで考えていって、全て足せば答えが得られます。

お礼

ありがとうございます。
最終的に合計はいくつになるのでしょうか？