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負の二項分布の積率母関数
gef00675の回答
独立同一の幾何分布にしたがう確率変数の和の確率分布が負の二項分布でした。だから再生性はほとんど自明ですが、せっかくだから。。。 幾何分布の確率関数f(x)=p(1-p)^(x-1) （x≧1) 積率母関数M(t)=E[e^(xt)] =Σp(1-p)^(x-1)*e^(xt) =Σ(pe^t)*((1-p)e^t)^(x-1) =(pe^t)/(1-(1-p)e^t) よって、負の二項分布(n,p)の積率母関数は E[e^(xt)]={(pe^t)/(1-(1-p)e^t)}^n ついでに、この式から確率関数が求められて、 M(t)={(pe^t)/(1-(1-p)e^t)}^n =p^n*e^nt*Σ(-1)^k*C[-n,k]*(1-p)^k*e^kt (k=0,1,2,...) =Σ(-1)^k*C[-n,k]*p^n*(1-p)^k*e^((n+k)t) （C[-n,k]は一般の二項係数） =Σ(-1)^(x-n)*C[-n,x-n]*p^n*(1-p)^(x-n)*e^(xt) （x=n+k) ∴f(x)=Σ(-1)^(x-n)*C[-n,x-n]*p^n*(-1+p)^(x-n) (x=n,n+1,n+2,...) となる。二項係数を C[-n,x-n]=(-n)(-n-1)…(-x+1)/(x-n)! =(-1)^(x-n)*C[x-1,n-1] と変形すると、見慣れた式になる。 f(x)=ΣC[x-1,n-1]*p^n*(1-p)^(x-n) (x=n,n+1,n+2,...)
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