一様分布の一次積率（期待値）を求める

質問

教えてください。
区間[a,b]における一様分布の積率母関数は、
Ｍ（θ）＝（ｅ＾ｂθ－ｅ＾ａθ）／（ｂ－ａ）・θ
で表わされ、特に区間[０,１]においては、
Ｍ（θ）＝（ｅ＾θ－１）／θ
となります。ここまでは求まりました。
これを使って期待値（Ｍ'（０））を求めたいのですが、
商の微分公式を用いてもうまくいきません。

積率を使わずに期待値を求めることはできるのですが、
あくまで積率から求めたいのです。

何か工夫が必要かと思いますが、どなたか教えていただけませんでしょうか。

回答No.2

kumipapa · ベストアンサー

連続一様分布の積率母関数はちょっと嫌らしい感じがします。
計算すると確かに
M(θ) = (e^θ - 1) / θ
M ’(θ) = (θ - 1)(e^θ - 1) / θ^2
となるのですが、このままでは M(0) も M ’(0) も値が定まりません。また、lim[θ→0]M '(θ) = E[X] とするのもきちんと証明したいところ。
一方で、θ = 0 として E[e^θX] を計算すると、E[e^(0X)] = 1 と求まりますので、M(0) = 1 です。ということで、
M(θ) =｛　1　　　(θ = 0 )
　　　{　(e^θ - 1) / θ　(θ ≠ 0 )
と M(θ) を定めれば、
lim[θ→0] M(θ) = lim[θ→0] (e^θ - 1) / θ = 1 = M(0)
ですから M(θ) は θ = 0 で連続。
M ’(0) を定義から計算してやると、
M ’(0) = lim[θ→0] (M(θ) - M(0)) / θ
　　　　= lim[θ→0] (e^θ - 1 - θ) / (θ^2)
　　　　= lim[θ→0] (e^θ - 1) / (2θ)
　　　　= 1 / 2
（ M ’(θ)→1/2なのでM ’(θ) も θ = 0 で連続です ）

ということで、E[X] = M ’(0) = 1 / 2

なお、極限を求めるところはロピタルの定理 lim f(x) / g(x) = lim f ’(x) / g ’(x) を使っています 。

お礼

ありがとうございました!
ロピタルは悩んでる最中に頭をかすめましたが、このように整然と使うことができませんでした。

回答No.3

kumipapa

＞　M(θ) = (e^θ - 1) / θ
＞　M ’(θ) = (θ - 1)(e^θ - 1) / θ^2
なんてこったい。
M '(θ) = ((θ - 1)e^θ + 1) / θ^2
かな。

回答No.1

stomachman

身も蓋もないが、exp(θ)をマクローリン展開して代入。

お礼

ありがとうございます。解決しました！