cot 有限級数公式の証明

質問

ある質問への回答の過程で下記公式を発見しましたが、解析的な証明ができません。

(i=0→n-1)Σcot(x + i・π/n) = n・cot(n・x)

ただし　0＜x＜π/n

これは私が実験的に発見したものですが簡潔かつ高精度なので解析的にも正しい公式だと信じています。解析的な導出あるいは証明につきお助けいただければ幸いです。

回答No.1

gef00675 · ベストアンサー

こんな感じでいかがでしょうか。

Z=e^(2ix)　（i=√(-1)）
とおくと、e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)を用いて、
cot(x)=i(Z+1)/(Z-1)
と表せる。a=e^(-2πi/n)とすると、
Z^n-1=(Z-a)(Z-a^2)…(Z-a^n)
と表せるので、cot(nx)は部分分数
cot(nx)=i(Z^n+1)/(Z^n-1)=i+Σ2i/b_k/(Z-a^k)　(k=1,2,...,n)　　・・・（☆）
に分解できる。ここで、
b_k=(a^k-a)(a^k-a^2)…(a^k-a^(k-1))×(a^k-a^(k+1))…(a^k-a^n)
である。a^n=1に注意すると、b_(k+1)*aは上の式で積の順序を変えたものになっている。よって、
a*b_(k+1)=b_k
一方、k=nの場合、
b_n=lim(Z^n-1)/(Z-1)=n　(Z→1)
である。よって、
b_k=n/(a^k)
となる。これを使って（☆）を計算すると
cot(nx)=i+i/n*Σ2a_k/(Z-a^k)
=i+i/n*(Σ(Z+a_k)/(Z-a^k)-1)
=i/n*Σ(Z+a_k)/(Z-a^k)
=i/n*Σ(Z*a_(-k)+1)/(Z*a^(-k)-1)
=(1/n)*Σcot(x+πk/n)
∴n*cot(nx)=Σcot(x+πk/n)

お礼

gef00675 さん、早速の回答ありがとうございました。私にとっては証明の道筋を理解するだけで大変で時間もかかりましたが証明法を発見するのはもっと大変（＝高度）だったと思います。

Z^n-1=(Z-a)(Z-a^2)…(Z-a^n) は「オイラーの贈物」にあった１のn乗根の公式だと気づきましたが未定係数法で b_k=n/(a^k) までたどり着くのに時間がかかってしまいました。

教えていただいた証明は発見した公式（再発見かもしれませんが）とともに私の宝物と致します。
今後また同様の機会があればご指導いただければ幸いです。