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3体問題でのカオスとなるきの軌道
ojisan7の回答
>3体問題の場合、可積分でないなら、カオスになる 確かに一般3体問題は、複雑で、カオス的な軌道を描きますが、必ずしもカオスになると断定することはできません。カオスとは何かということにもよりますが、まずは、決定論的な方程式における、初期値への鋭敏な依存性(リアプノフ指数が正であること)が認められるということでしょうか。 それから、この場合の「可積分」というのは力学系で用いられ、保存量と自由度の関係から定義される用語です。3体問題は、「エネルギー積分」等の保存量が不足し、解析的に解くことができませんから、「非可積分系」になります。 可積分とテーラ展開はあまり関係ありません。3体問題のような非可積分でも、摂動法では、2次か3次の近似ですが、テーラ展開を使っていますよね。次数を高めればさらに近似の精度を高めることができますが、計算は大変です。
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補足
>>3体問題の場合、可積分でないなら、カオスになる とは、言い切れないということですね。よくわかりました。 >摂動法では、、、、次数を高めればさらに近似の精度を高めることができます というのが疑問なのです。 カオスでは、十分大きなtでのf(t)は、初期値x0+ΔxのΔxに依存というわけで、 初期値を少し変えてもf(t)のt0でのテーラ展開が、十分大きなtにおいて、 1つの関数に収束するのではカオスとはいわない でしょう? で、 t=0でのテーラ展開=マクローリン展開の、各項の係数は 「t=0」での(d^nx/dt^n)/n! で、tがどんなに大きくなっても変わりません。 したがって、未来永劫、「Δt→0で計算したx0+Δx→x0の解」で計算されますが、 t=0で正則なら、Δt→0の時、x0+Δx→x0ですから、Δxに依存しません。 ということは、カオスであっても、 t=0でのテーラ展開は「tが十分大きいとΔxに依存する」ことを表してないです。 これがおかしいと思うのです。 逆にいえば、 カオスの場合の軌道f(t)は、t=0でのテーラ展開が 「tが十分大きいと意味を持たない」という変な関数である ということで、よいでしょうか?