- ベストアンサー
微分方程式の問題
y=f(x)=√(1-x^2)*sin^-1xの満たす微分方程式をつくり、それを用いてf(x)のテイラー展開を求めよ。 という問題が解りません。(ルートの中身は1-x^2です)
- MNCT-DENKEY
- お礼率36% (30/83)
- 数学・算数
- 回答数5
- ありがとう数5
- みんなの回答 (5)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
>θ=sin^1xとおき、dy/dxを求めるということは、 y=√(1-x^2)θとなり、dy/dθ=√(1-x^2) dθ/dx=1/√(1-x^2) dy/dx=(dy/dθ)*(dθ/dx)として解けばよろしいのでしょうか? ということですが、ほぼ、そのような、方法で良いと思います。この考え方で行けば、 dx/dθ=cosθですから、dθ/dx=1/cosθ y=θ・cosθとなり、計算をすると、 (1-x^2)dy/dx+xy=1-x^2 ・・・(☆) が得られます。これは1または-1を確定特異点とするFuchs型の微分方程式です。このような、微分方程式は確定特異点の周辺では普通、級数解法という方法をつかい、確定特異点以外の点ではテーラー展開がつかえます。 とにかく、(☆)の式を導くことが先決問題です。
その他の回答 (4)
- endlessriver
- ベストアンサー率31% (218/696)
#4です。誤りました。 最後は n>=5 だから a_n={(n-3)/n}a_(n-2)={(n-3)/n}{(n-5)/(n-2)}...{2/5}a_3 (n>=5). n=2m+1 (m>=2)とすると(a_3=-1/3をつかって) a_(2m+1)=-{(2m-2)!!/(2m+1)!!} (m>=2) すみません。
お礼
詳しく解説していただきありがとうございます(≧▽≦)
- endlessriver
- ベストアンサー率31% (218/696)
#2の方のようにマクローリン展開で求めると y=a_0+a_1(x)+a_2(x^2)+a_3(x^3)+a_4(x^4)+...+a_n(x^n)+.. とおきます。y(0)=0より、a_0=0. (☆)の左辺を計算すると y'=a_1+2a_2(x)+3a_3(x^2)+4a_4(x^3)+...+na_n(x^(n-1))+.. -x^2・y'= -a_1(x^2)-2a_2(x^3)-...-(n-2)a_(n-2)(x^(n-1))-.. xy= a_1(x^2) +a_2(x^3)+...+a_(n-2)(x^(n-1))+.. これを右辺の(1-x^2)と比較して a_1=1, a_2=0, a_3=-1/3. n>=4のとき na_n - (n-3)a_(n-2)=0 すなわち、nが偶数のときa_n=0. そこで奇数の時 a_n={(n-3)/n}a_(n-2)={(n-3)!!/n!!}a_3 (n>=5). n=2m+1 (m>=2)とすると a_(2m+1)=-{(2m-2)!!/(2m+1)!!}/3 (m>=2) 収束性は判定条件を使えると思います。多分。
- oyaoya65
- ベストアンサー率48% (846/1728)
>微分方程式をつくり、 「微分を求め、」ではないですか? テーラー展開は次のURLにあるように x=aの周りの展開になりますが質問では指定されていませんね。 http://mailsrv.nara-edu.ac.jp/~asait/c_program/sample0/taylor_note.htm x=0とした場合はマクローリン展開といいます。 http://yosshy.sansu.org/maclaurin.htm 多分質問はマクローリン展開を求める問題かと思いますがどうでしょうか? f(x)=Σ[n=1->∞]f(n)(0)(x^n)/n! 以下のように(x^n)の係数を求めます。 f'(x)=1-x*(sin-1x)/√(1-x^2) f'(0)=1 f"(x)= ... f"(0)=0 f(3)(x)=... f(3)(0)=-2 f(3)(0)/3!=-1/3 f(5)(x)=... f(5)(0)=-16 f(5)(0)/5!=-2/15 ... n階微分f(n)(x)を求めるのは困難ですね。 nと共に項数がどんどん増加します。 f(2m)(0)=0 (mは自然数)となります。 f(2m-1)(0)<0ですね。 数学ソフトMathematicaを使えば次のようにマクローリン展開できます。 f(x)=Σf(n)(0)(x^n)/n! =x-(x^3)/3 -2(x^5)/15 -8(x^7)/105 -16(x^9)/315-128(x^11)/3465-256(x^13)/9009-... 大学生なら大学でライセンスが導入されていてMathematicaやMapleなどの数学ソフトが無料で使える場合が多いですね。 (大学生協などでスチューデント版Mathematicaのソフトが3万円強で購入できるかと思います。)
お礼
問題に間違いはないはずです。 頑張って解いてみます。
- ojisan7
- ベストアンサー率47% (489/1029)
考え方だけ。 θ=sin^-1x とおき、dy/dxを求めます。 ここからは、単純に計算するだけだと思います。 (1-x^2)dy/dx+xy=1-x^2 となるでしょうか。 ここまで、できれば、f(x)のテイラー展開(マクロリーン展開)を求めるのはたやすいことです。
補足
θ=sin^1xとおき、dy/dxを求めるということは、 y=√(1-x^2)θとなり、 dy/dθ=√(1-x^2) dθ/dx=1/√(1-x^2) dy/dx=(dy/dθ)*(dθ/dx)として解けばよろしいのでしょうか?
関連するQ&A
- 微分方程式に関連する問題
微分方程式の問題で分からないものがあります。 出題場面が、「テイラー展開およびマクローリン展開を 利用する練習問題」ということなので、テイラー展開を方針にした 解答を作りたいのですが・・・。以下のようなものです。 「次の微分方程式を解き、関数f(x)を図示せよ。(A>0)」 ∂f(x)/∂x = -Axf(x) 一応、「Aかけるf(x)」ではなく 「Aかけるxかけるf(x)」です。 偏微分の形をしていますがまぁdy/dxの場合でも方針が分かりません。 (少しやってみたのですが、e(ネピア数)の指数に π(パイ)/2 のようなものがでてきたりして、テイラー展開の公式に当てはめた時、 1項おきに0になったりしたのですが・・・。ただの混乱かもしれません) 詳しいかたおられましたら、よろしくお願いいたします。 (図示せよという問題をこういう場で聞くのも申し訳ないので、省略ということでも・・・。欲張ると、概形を軽く聞きたいです・・・。 自分なりに描いた感じでは、 x=0を中心に山なりになるグラフと、それをx軸対称で描いたものとの2通りに場合わけができたのですが。まったく自信がないです。)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式の問題(4問)がわからないので教えていた
微分方程式の問題(4問)がわからないので教えていただきたいです。できれば途中式、解説などもお願いいたします 【1】、【2】微分方程式の一般解を求めよ 【1】 dy/dx+(x-2)/y=0 【2】 dy/dx+1/x*y(x)=e^2x 【3】、【4】微分方程式を求めよ 【3】 d^2y/dt^2 + dy/dt - 2y(t) = sin t 【y(0)=0、 y'(0)=0】 【4】 dq(t)/dt + q(t)/RC = sin 2t 【q(0)=0】
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分方程式の勉強をしていてわからないところがあり、困ってます。
微分方程式の勉強をしていてわからないところがあり、困ってます。 わかる方がいたら教えてください。 次の曲線群の微分方程式を求めよ。 (1)ax?+bx?=1 答え。yy’ = xy’?+xyy’’ ( ?は二乗です。) 次の微分方程式を解け。 (1)y?dx-x?dy=0 (2)cosxcos?y+y’sin?xsiny=0 答え (1)y=2x?/(cx?+1) (2)sinx-cosy=csinxcosy 次の微分方程式を()内の初条件のもとで解け。 (1)ルートx かける y’ = ルート(y+1) (x=0,y=3) 答え y=x+4ルートx+3 おねがいします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分方程式の問題です。
(1)微分方程式 y"+p(x)y'+q(x)y=f(x) を変換 t=φ(x) を用いて d^2y/dt^2+K(t)y=M(t) の形に表し、K(t),M(t)をそれぞれp,q,f,φを用いて表せ。 (2) (1)を用いて、微分方程式 x^4y"+2x^3y'+3y=2/x を解け。 という問題をどなたか解説してくださいませんか。
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分方程式の問題
当方理系大学生です。次の微分方程式の問題について質問させていただきます。 ---------------------------- [問題]円群 x^2+y^2=c^2の各曲線に45°で交わる曲線群の満たす微分方程式が次式で表されることを示せ。 x+y(y'-1)/(y'+1)=0 ---------------------------- この問題を、私は次のように解きました。 ---------------------------- x^2+y^2=c^2に45°で交わる曲線のひとつをy=f(x)とおく。これの点(x,y)における接線ベクトルは(1,f'(x))とできる。同様に、x^2+y^2=c^2の点(x,y)における接線ベクトルは(1,y')とできる。これらの接線ベクトルが45°で交わるとき、二つのベクトルの内積を考えれば、 1*1+f'(x)*y'=√(1+f'(x)^2)√(1+y'^2)cos45° 両辺を二乗して、整理すると、 (f'(x)^2-1)y'^2+4f'(x)y'+1-f'(x)^2=0 を得る。これをy'について解くと、 y'=(-2f'(x)±(f'(x)^2+1))/(f'(x)-1) よって、 y'=f'(x)-1 または y'=-(f'(x)+1)/(f'(x)-1) を得る。 ---------------------------- さて、最後にy'が2つ出てしまって、問題から言えば前者が排除できるはずなのですが、なぜ排除できるのかを説明することができません。解答・解説を見ても、「曲線群f(x,y,y')=0の各曲線に角αで交わる曲線群の満たす微分方程式はf(x,y,(y'-tanα)/(1+y'tanα))=0となる」とあるだけで詳しく解説されておりませんでした。 y'=f'(x)-1とならないのはなぜか、お答えいただければと思います。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式
次の微分方程式を解けという問題がわかりません。 y''+4y=sin2x 特性方程式s^2+4=0よりs=±2i(虚数解) 補助方程式の一般解はy=Asin2x+Bcos2x 与方程式の右辺を微分して生じる関数は2sin2x,2cos2xであるが、 これらは上の一般解に含まれている。重複度は2なので、 特殊解を求めるために、 y1=ax^2*sin2xとおく y1'=2a(xsin2x+x^2cos2x) y1''=2a(sin2x+4xcos2x-2x^2sin2x) これらを与方程式に代入すると 2asin2x+8axcos2x-4ax^2sin2x+4ax^2sin2x=sin2x となってしまって解けませんでした。どこを直せばいいでしょうか?
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
なるほど!!わかりました。 理解力が乏しくてすいませんでした(^ _^ !)