慣性モーメント

質問

慣性モーメントでは　m・r^2　ですが　r^2　の物理的な
意味合いをお教え下さい。
便宜的に、m・r^2　を慣性モーメントとすると決めただけ
ではないと思いますので...

回答No.5

d9win

自信はありませんが、次のような考えは慣性モーメント(M・R^2)の意味を考える際に参考になりませんか。
仮に、原点から反対方向に延びる二つの腕(半径RaとRb)とその各々の先端に質量(Ma, Mb)が存在する状況を想定する。このシステムが、原点に力を及ぼさずに、原点の周りを定速回転している状況が出現しておれば、半径(Ra)と質量(Ma)の回転系と半径(Rb)と質量(Mb)の回転系は同じ種類の物理状態であると見なせる。この時、次の二つの関係が成り立っていると考えられる。
(I) 二つの腕の角速度(ω)が等しいことから、Va/Ra= Vb/Rb。(VaとVbは、それぞれMaとMbの速度)
(II) 二つの質量(Ma, Mb)の運動エネルギーが等しいことから、Ma・Va^2/2= Mb・Vb^2/2。

(II)の関係式に(I)の関係式を代入すると、Ma・Va^2= Ma・Va・(Vb/Rb)・Ra= Mb・Vb^2= Mb・Vb・(Va/Ra)・Rbと変形できる。これに再び(I)の関係(Va/Ra= Vb/Rb)を使うと、Ma・Va・Ra= Mb・Vb・Rbが導かれる。すなわち、互いに同等な二つの回転運動系(Ma,RaとMb,Rb)では、運動量(M・V)の代わりにM・V・Rが一定となる特性がある。
また、(II)の関係式と(I)の関係式を連立させると、Ma・Va^2= Ma・ {(Ra/Rb)Vb}^2=Mb・Vb^2から、Ma・Ra^2= Mb・Rb^2が導かれる。つまり、互いに同等な二つの回転運動系(Ma,RaとMb,Rb)の質量(M)は半径(Ra, Rb)が異なる場合には同一値ではあり得ないが、その代わりにM・R^2が一定となる特性がある。
これらの例から、回転運動では、基本的な物理量である質量(M)と運動量(M・V)が直線運動の場合ほど有効な物理量でないと言えそうである。代わりにM・R^2(慣性モーメント)とM・V・R(角運動量)がより有効な物理量であると言える。

回答No.4

Dady-J

直線運動の場合、質点に加わる力Ｆと力Ｆによる質点の加速度αとの間には比例関係があって
Ｆ＝ｍα・・・（１）
と表され、その時の比例定数がｍ、慣性質量というのはよろしいでしょうか
質点が回転中心からｒの距離にあって回転運動している場合、その質点に加わる回転力Ｍ（力のモーメント）と回転力Ｎによる質点の角加速度βの間には比例関係があって
Ｍ＝Ｉβ・・・（２）
と表されます
この時の比例定数Ｉが慣性モーメントです
（１）と（２）を比較すれば、直線運動も回転運動も同形の運動法則で表現できることがわかると思います
慣性質量ｍの意味は直線運動における質点の加速のし難さを表していて、慣性モーメントＩも回転運動における回転のし難さを表しているものです
mmkyさんの計算は、質点に半径方向と垂直方向に力Ｆが加わっている時の回転力Ｍ（＝Ｆ・ｒ）と角加速度β（＝ｄω／ｄｔ：ωは角速度）から比例定数Ｉがｍとｒでどう表されたかを示したもので、この場合Ｉ＝ｍｒ^2となり、結果的に質点の慣性質量に比例し、半径の２乗に比例するようになったということです
で、ｍｒ^2となっている形を見ると、まず慣性モーメントが質点の慣性質量に比例することがわかります
これは納得できるのではと思います
次にｒ^2ですが、円の面積がπｒ^2ということを考えると、慣性モーメントは回転運動の運動面の面積に比例すると考えられるんではないでしょうか

回答No.3

pancho

慣性モーメントは、角速度の変化しにくさを表す量で、直線運動の速度に対してその変化しにくさを質量と定義しているのに対応しています。

両者のエネルギー変化を比べてみると、慣性モーメントにr^2というパラメータが必要な理由がわかります。

以上。

回答No.2

mmky

＃１です。ミスがありました。修正します。
ミス：
[F=m(dV/dt)=m(rd＾2θ/dt＾2)=mrω＾2　：ω=dθ/dt
だからモーメントＭは、Ｍ=F*ｒ=mr＾2ω＾2
ここで、ω=1 で規格化すれば、]
訂正：
F=m(dV/dt)=m{d(rdθ/dt)/dt}=mr(dω/dt) :ω=dθ/dt
だからモーメントＭは、Ｍ=F*ｒ=mr＾2(dω/dt)
ここで、(dω/dt)=1 で規格化すれば、Ｍ=mr＾2*[1] になります。]

ごめん。訂正まで

回答No.1

mmky

参考程度に

シーソの場合（左右でバランス）
F（力）↓----ｒ----○--ｒ-----↑F（力）
↑Ｆ*ｒ=↓F*r

シーソが半分しかない場合（片方の側にモーメントＭが発生しますね。）
○--ｒ-----↑F（力）
↓
Ｍ=↓Ｆ*ｒ

F=m(dV/dt)　だから、回転物体の場合は、
F=m(dV/dt)=m(rd＾2θ/dt＾2)=mrω＾2　：ω=dθ/dt
だからモーメントＭは、Ｍ=F*ｒ=mr＾2ω＾2
ここで、ω=1 で規格化すれば、Ｍ=mr＾2*[1] になります。
ということで慣性モーメントは、mr＾2　としているのでは。

参考になりますか。