相関係数について教えて下さい

質問

算出された相関係数の見方について疑問があります。
知識のある方、教えて頂ければ幸いです。
下のようなデータがあるとします
Ａ 100→200→400→800
Ｂ 50→100→200→400
Ｃ 50→150→350→750

ＡとＢ
ＡとＣ、の数列の相関について考えるとします。
*ＢとＣ　の相関については考えません。

Ａの数列は100からスタートして次は2倍、その次は前の数字の2倍と、倍、倍で増加します。Ｂの数列は、50からスタートして、次は2倍、その次は前の数字の2倍と、倍、倍で増加します。
ＡとＢは数の増加率が同じ場合です。ここでＡ，Ｂの相関係数を
計算すると、1と算出されました。

次にＣですが、Ｃの数列はＡの数列の増加する値と同じ値を
加算していきます。Ａは最初の100に対して、次は200なので、
100の増加、するとＣも、最初の50に対して100増加させています。
2行目以降も同じです。このＡとＣの相関係数を計算しても、1と算出されました。

ＡとＢ　の相関係数は1
ＡとＣ　の相関係数も1
Ｂと、Ｃ　の数の増加は明らかに違うのに、両方共に
Ａに対する相関係数が1と出てきてしまいました。
どのように解釈して良いのか困っています。

私が素人判断で勝手に考えていたのは、
ＡとＢは相関が一致していて、
ＡとＣは増加する傾向は同じであるが、変化量の割合に違いがある為、
ＡとＢほどには相関が高くない数字が出るとばかり思っていました。
相関係数も様々な種類があるようなのですが、変化の量も測定できるような、統計数値はありませんでしょうか？

回答No.4

sanori

こんばんは。

すべてのデータが、直線　ｙ＝ａｘ＋ｂ　の上にあるとき、
相関係数ｒは必ず１か－１になります。
ａ＞０であればｒ＝１、ａ＜負であればｒ＝－１です。

ｒが正のときは「正の相関がある」と言い、ｘが大きくなるほどｙも大きくなります。
ｒが負のときは「負の相関がある」と言い、ｘが大きくなるほどｙが小さくなります。

相関係数は、一次近似の最小二乗法の産物ですが、
一次近似の最小二乗法というのは、何をやっているのかというと、
「グラフ用紙を縦か横に引き伸ばして、
　直線の傾きを４５度か、－４５度のどちらかに規格化している」
ということをやっています。
これは、まったく合理的なことです。
このことは、そうでないことを考えれば明らかです。
４５度からかけ離れた角度、たとえば、１０度以下とか８０度以上のグラフを描くと、
どんなデータであっても、直線の関係があるように見えてしまいます。

---------------------------------------
ちなみに、
相関係数には、というか、一次近似の最小二乗法には、大きな欠点があります。
それは、
左右対称、または、上下対称のデータの場合、ｒ＝０（相関なし）になってしまうことです。

＜例１＞
円の円周上の点の座標を１°刻みで、３６０個の（ｘ、ｙ）データにしたとしましょう。
半径の長さや中心の座標は、どこでもよいです。
相関係数は、ゼロになります！！！

＜例２＞
左右対称な二次関数のデータ、たとえば、
－１０ ≦ ｘ ≦ ＋１０　という範囲で、
ｙ　＝　３ｘ^2　＋　５
の上の点の座標を、ｘ座標を　０．１　刻みで計算して、（ｘ、ｙ）データにしたとしましょう。
これも、相関係数はゼロになります！！！

つまり、人間の目には明らかに相関があるデータ（グラフの図形）なのに、
一次近似では、まったく相関がないことになってしまうことがあるわけです。
---------------------------------------

＞＞＞相関係数も様々な種類があるようなのですが、変化の量も測定できるような、統計数値はありませんでしょうか？

「変化の量も測定できるような、統計数値」
は、ｙ＝ａｘ＋ｂ　における　ａ　だけ見ればよいだけの話です。

得られた式のａやｂの信頼度、つまり、ａの誤差やｂの誤差は、最小二乗法の結果の一つとして求まります。
これらは、数字の大きさも加味されます。
Ｅｘｃｅｌの関数にもあるはずです。
ただし、ｒ＝１　の場合は、当然ながら、ａの誤差もｂの誤差もゼロになります。

相関係数について「変化の量も測定」というのは、
上記した「４５度からかけ離れた角度」のグラフを描くことと同じですから、全く無意味です。
これに関しては、相関係数の種類を変えても同じことです。

以上、ご参考になりましたら。

回答No.3

okormazd

y=F(A)
が、
直線上に乗るのであれば、
yが、どんな値であろうと、
相関係数は「1]になります。
要するに、
y=kA+Const
になっていれば、相関係数は「1]です。
直線に乗るというのは、決定係数が「1]になるということです。

相関係数は、決定係数の平方根です。

回答No.2

25no12

相関係数は、「各データの平均からのずれを表すベクトルのなす角の余弦」なのだそうです。
「平均からのずれ」だけが問題になるわけです。
ＡとＣを比べると、各因子がすべて、c=a-50の関係になっています。
平均からのずれは・・・当然ぴったり一致しますね。

回答No.1

noname#227064

相関関係をみる場合、まず散布図を描かれることをお勧めします。