合成抵抗の求め方教えてください

質問

立方体ABCD-EFGHとおくとき、A-C間の合成抵抗を求めよ、って問題です。全体を流れる電流はIでAから入りCからでるとします。全体の電圧をVとし、１辺をRΩとします。

わかりやすく教えてください。お願いします。

回答No.1

boobee0125 · ベストアンサー

一般的な解法としては回路方程式を立てて線形連立方程式を解くことになりますが、この問題は対称性を利用して比較的簡単に求まりそうです。

１）立方体の平面表現
立方体の稜線を２次元に展開するため先ず大きなひし形を一つ書き、その内側に小さいひし形を書きます。外側のひし形の頂点を上から左回りにＡＢＣＤ、同様に内側をＥＦＧＨとし、ＡとＥ、ＢとＦ、ＣとＧ、ＤとＨをそれぞれ線でつなぎます。これで１２本の稜線（抵抗Ｒ）の接続関係が平面的に表現できました。最上部の点がＡ，最下部の点がＣとなります。

２）対称性を利用した合成抵抗計算
上記の平面表現は上下が線対称となり、中央部ＢＦＨＤ各点の電位はＡ－Ｃ間の電位の中点ですべて同電位となり、これらの各点の相互間には電流が流れないため水平方向の線（抵抗）Ｂ－Ｆ，Ｈ－Ｄは除去しても回路各部の電流には変化がありません。（除去のかわりに短絡しても結果は同じですがここでは除去で考えます）
ここで内側のひし形のＥ－Ｇ間の抵抗は２Ｒと２Ｒの並列でＲとなりますので内側のＡ－Ｅ－Ｇ－Ｃの経路の抵抗は３Ｒとなります。一方外側のひし形のＡ－Ｃ間の抵抗はＥ－Ｇと同じくＲとなりますのでこれと内側経路の３Ｒの並列接続により合成抵抗が下記のように求められます。

合成抵抗＝１/{１/Ｒ＋１/(３Ｒ)}＝３Ｒ/４

お礼

わかりやすく教えていただきありがとうございました。おかげで理解できました！