9の倍数の問題

質問

１０進法で
a_n　a_n-1 ・・・a_2　a_1
と表わされるNが９の倍数、あるいは１１の倍数であるか調べることを考える。
(1)a_n+a_n-1+・・・+a_2+a_1
が９の倍数のときNも９の倍数であることを示せ。

(2)Nが１１の倍数であることを調べるには、a_n+a_n-1+・・・+a_2+a_1の代わりに、なにが１１の倍数であるかを調べれば良いと思うか、理由と共に答えよ。

(3)１０進法で1　2　a_4　a_3　5　6と表わされる数が９９の倍数となるようなすべての組（a_4,a_3）を答えよ。

さっぱり分かりません。
どなたか教えてください。
よろしくお願い致します。

回答No.4

take_5

前の問題の回答をここに書いておく。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4422615.html

君の計算違いだろうが、n＝（a-2）/3。m＾2＝2（a＋1）/3。
先ず、m＾2≧0から　a＋1≧0.
次に、判別式≧0から　a-5≦0.　従って、-1≦a≦5　となる。

お礼

回答ありがとうございました。
計算ミスしていました。

今まで大変失礼しました。

回答No.3

pascal3141

(2)Nが１１の倍数であることを考えるには
10=11-1
100=99+1=11*9+1
1000=1001-1=11*91-1
10000=9999+1=11*909+1
を使います。
たとえば、abcdeの５桁の数字なら、上の関係を当てはめて
abcde（１０進数）＝a(11*909+1)+b(11*91-1)+c(11*9+1)+d(11-1)+e
＝11*(a*909+b*91+c*9+d*1)+(a-b+c-d+e)
となるため、１の位から一つおきに取った数字の和と１０の位から一つおきに取った数字の和の差が１１で割り切れればいいです。この考え方は５桁に限らず一般化できます。

補足

回答ありがとうございます。
n=2k+1の時
N=a_1+a_2(11-1)+a_3(99+1)+a_3(1001-1)+a_4(9999+1)+...+a_n-1(99...9+1)+a_n(100...1-1)
N={a_1-a_2+a_3-a_4+...+a_n-1-a_n}+11*(a_2+9*a_3+91+a_4*909+...a_n-1*$+a_n*$$)
a_1-a_2+a_3-a_4+...+a_n-1-a_n=11t (t=0,1,2,...n)

n=2kの時
N=a_1+a_2(11-1)+a_3(99+1)+a_3(1001-1)+a_4(9999+1)+...+a_n-1(100...1-1)+a_n(999...9+1)
N={a_1-a_2+a_3-a_4+...-a_n-1+a_n}+11*(a_2+9*a_3+91+a_4*909+...a_n-1*$+a_n*$$)
より
a_1-a_2+a_3-a_4+...-a_n-1+a_n=11t (t=0,1,2,...n)

にならなければならない。

(3)
nは偶数なので
6-5+a_3-a_4+2-1=11t
a_3-a_4=11t-2
a_3-a_4=-2 (∵a_n=0～9)
(a_3,a_4)=(0,2),(1,3),(2,4),(3,5),(4,6,)(5,7),(6,8),(7,9)
これは１１の倍数となる。

９の倍数は
6+5+a_3+a_4+2+1=9s
a_3+a_4=9s-14
a_3+a_4=4 (s=2)
(a_3,a_4)=(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)

a_3+a_4=13 (s=3)
(a_3,a_4)=(4,9),(5,8),(6,7),(7,6),(8,5),(9,4)

よって99の倍数になるのは
(a_3,a_4)=(3,1)
のみとなる。
よって求める数は
123156
となる。

どうでしょうか？

回答No.2

info22

自力で考えた解答を少しでも補足に書くこと。

(1)だけ。
(1)a_n　a_n-1 ・・・a_2　a_1
=a_n*10^(n-1)+　a_(n-1)*10^(n-2)+ ・・・+a_2*10^1+a_1*10^0
=a_n(99...9+1)+a_(n-1)(9...9+1)+ ・・・+a_2(9+1)+a_1
=a_n+a_n-1+ ・・・+a_2+a_1
+a_n*99...9+a_n-1*9...9+ ・・・+a_2*9
=a_n+a_n-1+ ・・・+a_2+a_1
+9(a_n*11...1+a_n-1*1...+ ・・・+a_2*1)
二行目は9の倍数なので、一行目が9の倍数なら、元の10進数は9の倍数といえる。

後は自助努力で考えて下さい。（丸解答は削除対象）

補足

回答ありがとうございます。
＞=a_n(99...9+1)+a_(n-1)(9...9+1)+ ・・・+a_2(9+1)+a_1
の部分の、
99...9は9がn-1個
9...9は9がｎ-2個あるということですよね。

何とか理解できました。

(2)は
a_n*10^(n-1)+　a_(n-1)*10^(n-2)+ ・・・+a_2*10^1+a_1*10^0
=a_n(99...9+1)+a_(n-1)(9...9+1)+ ・・・+a_2(9+1)+a_1
=a_n+a_n-1+ ・・・+a_2+a_1
+9(a_n*11...1+a_n-1*1...+ ・・・+a_2*1)
=a_n+a_n-1+ ・・・+a_2+a_1+9*a_2
+9*11(a_n*10...0+a_n-1*10...+ ・・・+a_3*1)

ということで
a_n+a_n-1+ ・・・+10a_2+a_1
が１１の倍数であるか調べれば良いのでしょうか？

回答No.1

goodday35

N_n = a_n*(10^n)+　a_n-1*(10^n-1)+ ・・・a_2*10+　a_1
= 9* (a_n * 10^(n-1)) + a_n*10^(n-1)
+ 9 * (a_n-1 * 10^(n-2) + a_n-1 *10^(n-2)
+ ・・・　+ 9*a_2 + a_2 + a_1

= (9の倍数) + N_n-1
よってもしN_n-1が9の倍数であれば N_nは9の倍数。
あとは数学的帰納法です。念のため^ はべき乗記号です。 (3^2 = 9)

(2) については(1)がわかったら教えます。(1)がわからなければ絶対にわからないので。

補足

回答ありがとうございます。
申し訳ございませんが、２行目からの
＞= 9* (a_n * 10^(n-1)) + a_n*10^(n-1)
+ 9 * (a_n-1 * 10^(n-2) + a_n-1 *10^(n-2)
+ ・・・　+ 9*a_2 + a_2 + a_1
がよく分からないのですが・・・。
もしよければもう少しヒントを下さい。

よろしくお願い致します。