- ベストアンサー
瞬間部分積分に使われるている定理
よろしくお願いします。 今日、瞬間部分積分を習ったのですが、そのときにこれは 大学一年生の時に学ぶものを一部かいつまんだものだよと いう話がありました。 そこで質問なのですが瞬間部分積分はなんという定理をもとに しているものなのでしょうか?ご教授よろしくお願いします。
- remonpakira
- お礼率82% (1181/1428)
- 数学・算数
- 回答数6
- ありがとう数3
- みんなの回答 (6)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
> f・g の積分は f・g*-f'・g**+f''・g*** みたいになるやつです なりません。 (f・g* - f'・g** + f''・g***) ' = f・g + f'''・g*** ≠ f・g であることは、自分で確認できますね? 右辺の最後に出てくる f'''・g*** の項を打ち消すためには、 左辺に更にもう一項 - f'''・g**** を付け加えざるを得ず、その結果、 また余計な項 - f''''・g**** が生じてしまいます。 この連鎖には、終わりがありません。 これを際限なく続けると、 ∫f・g = Σ[k=0→∞] (-1)^k (f に k 回 ') (g に k+1 回 *) という級数展開を生じますが、右辺の Σ は収束するのか?とか、 いろいろ問題があります。 この辺の問題点を整理して、公式の細部を詰めるには、確かに 大学で教わる数学が必要になるでしょう。 そこまでして完成する価値のある公式かどうかは、甚だ疑問ですが。 f が多項式の場合には、k が大きくなると (f に k 回 ') が 0 になって、 Σ は有限項の和になりますから、ゴタゴタは避けられます。 が、f が多項式の場合に限った話です。 ところで、「整式で表される関数」と「整関数」は、全く別のものですよ。
その他の回答 (5)
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
えぇと.... 「正関数」って, 何? 「整関数」のことだとしたら, いくらなんでも「積の積分を一気に出す」ことは無理な気がするし, 「整式」のことだとしても例えば 「(x の 700次式) × sin x」 の積分が「一気に出る」というのは無理がありそう....
補足
なんか色々間違えてすいませんm(__)m 整関数ですね。 微分をf'積分をf*とするとf・gの積分は f・g*-f'・g**+f''・g***みたいになるやつです
- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
http://www.math.co.jp/k_player.html?k011 これのことだとすると、 部分積分をするときに、右辺を ∫(f ')(g)dx = fg … まで書いたあと、 (f)(g ') は余白にメモして、 積分済みの ∫(f)(g ')dx を一機に fg … の隣に書け という話ですね。 要するに、 「部分積分なんで簡単じゃん。暗算でやれよ。」と言っているだけです。 大学も定理も何も…
- BookerL
- ベストアンサー率52% (599/1132)
「部分積分法」であれば、積分するときの一つの技法です。積の微分を逆に使っているので、「なんという定理をもとにしているか」というと、「積の微分法」とでもなるでしょうか。 http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/henkan.cgi?target=/math/category/sekibun/bubunsekibun.html >大学一年生の時に学ぶものを一部かいつまんだものだよという話がありました。 ということは、高校数学でしょうか。大学の初めに出てくるのなら、解析の初歩ですが、一般的な数学用語として「瞬間部分積分」というのはないと思います。 誰かが勝手に名づけたものでは?
補足
瞬間部分積分はもちろん予備校用語なのですが 大学の一部を受験生ように簡略化してもってきたもの という感じの説明でした。 積の積分なんですね
- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
「瞬間部分積分」てのは、どっかの予備校教師が教えている 部分積分の暗記法ですね。内容を理解すれば、公式暗記術は 必要ないように思いますが… 部分積分は、積の微分公式 (fg) ' = (f ')(g) + (f)(g ') の 両辺を積分したものです。 実際に ∫(f ')(g)dx = fg - ∫(f)(g ')dx を行うときには、 被積分関数 (f ')(g) を睨んで fg の式形をヤマカンで想像し、 (fg) ' を計算してみて部分積分になっているかどうか確認する …という手順がよいでしょう。
お礼
部分積分の証明はできるのですが、 三角関数と正関数、自然対数と正関数との積の積分を一気に出す 予備校のテクニックを瞬間部分積分と呼んでいて それが大学で習う数学の一部を引っ張ってきているという話だったので 純粋な知識欲から何を基にしているのだろうとおもって 質問しました
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
「瞬間部分積分」ってなんだ?
お礼
部分積分につかう予備校のテクニックで、予備校用語です。 大学の一部を受験生ように簡略化してもってきたもの という感じの説明でした。
関連するQ&A
- コーシーの積分定理
こんにちは。僕は今コーシーの積分定理を勉強しているものです。 コーシーの積分定理を使った問題で、どうしても解法がよくわからない問題があるのでお願いします。 ∫[C] z^3/(z-4)^2dz (C:|z|=2) という問題です。この問題に限らず、分母が2乗の形になっているような問題がわかりません。 他の問題だと、z^3/(z-4)/(z-4)のような形にして、f(ξ)=ξ^3/(ξ-4)として解けるのですが、もちろんこの問題だとf(ξ)の分母が0になってしまい、困ってしまいます。 こういった問題はどのような解法を用いればいいのでしょうか。 お手数ですが、おわかりになる方いらっしゃいましたら、ご教授いただけると幸いです。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素積分(コーシーの積分定理)について質問です
zを複素数としする。コーシーの積分定理によれば「関数f(z)が領域Dで正則であるとして、領域D内の任意の閉曲線Cの内部が領域Dに含まれる場合、閉曲線Cに沿った関数f(z)の周回積分は0になる。」が成り立つと思います。 そこで次の問題を考えました。(zは複素数変数、aは実数の定数、iは虚数単位とする) 「原点を中心とする半径aの円を閉曲線Cとする。閉曲線Cに沿った、関数f(z)=1/(z-ai)の周回積分Iをを求める。」 閉曲線Cの内部で関数f(z)は正則だけれども、閉曲線Cは関数f(z)が正則でないz=aiの点を含んでいるのでコーシーの積分定理は利用できない。…(1) そこで、次のように積分を行うことにしました。閉曲線Cを複素数で表して、C:z=a*exp(iθ) (0≦θ≦2π) dz/dθ=ai*exp(iθ) よってI =∫f(z)dz =∫{ai*exp(iθ)/(a*exp(iθ)-ai)}dθ (積分範囲は0≦θ≦2π) ここで、[Ln(a*exp(iθ)-ai)](0≦θ≦2π)=0…(2) そこで質問です。 (1)は正しく、閉曲線の外周上に被積分関数が正則で無い部分があるなら、コーシーの積分定理は成立しないのでしょうか? (2)ln(z)は無限多価関数なので、どの複素関数の不定積分でもないと思ったので、Ln(z)を不定積分として用いたのですが、これは大丈夫なのでしょうか? ご回答よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 4次元のガウスの定理?
4元ベクトルをX^μ として、 ∫ d^4 x (∂_μ X^μ) という形の積分がどうやら0になる(計算途中で使われているようなだけで、 確認はしていません)のですが、これは3次元での ガウスの定理で、体積分を面積分にかえて、無限遠方でのベクトルの値を0 と考えて積分値を0にするのと似ていると思いました。 がガウスの定理の4次元版を調べようとしましたがいまのところ見当たりません。 具体的には坂井典佑著 場の量子論p10(1.31)式の導出過程での話です。 この積分のやりかた、考え方をご教授願います。
- ベストアンサー
- 物理学
- 数学科でするグリーンの定理、ストークスの定理等
数学科の初学年の解析で、多変数関数の積分のところでガウス、グリーン、ストークスの定理が出てきます。が、簡単に済ませているような気がします。 線積分は複素解析でも必要ですが、これらの定理は数学科の高学年、大学院とかで使うことはあるのでしょうか? 数学科でベクトル解析とかあまりしないので、何に使うのかなあ、と思います。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
いろいろありがとうございます。 >>「整式で表される関数」と「整関数」は、全く別のものですよ。 今回自分にいろいろと穴がある事がわかってよかったです