二重積分

質問

平面図形Dの面積が、二重積分∬_D dxdy
で求めることができる理由を求めたいのですが…。

(この結果より極座標であらわすと∬_D rdrdθになり、これを利用して解く問題はなんとか分かりそうなのですが)

もしかしたら簡単な事なのかもしれませんが、どなたかアドバイスをお願いします。

回答No.1

mcurry · ベストアンサー

「平面Ｄの面積を求めるのには、どうすればよいか？」
を考えてみましょう。

正方形や、長方形の面積の求め方は知っているので、
微少な面積Δs=ΔxΔyの四角形を、平面Ｄに敷き詰めます。

平面Ｄに敷き詰めるのに必要な四角形の数ｎとすると
求めたい面積は ΔxΔy×ｎに近い値をとります。

四角形の面積ｓを０に近づけることにより、
（ｎは増える）
ΔxΔy×ｎは求めたい面積に非常に近づきます。

S=lim_(Δx→0、Δy→0)ΣΣΔxΔy
=∬_D dxdy

｛ΣΣで平面Ｄをdxdyで埋め尽くすように和をとっています｝
｛高校数学の教科書に載っていると思いますが、微分の基礎的な式を書いておきます。
dy/dx=lim_(Δx→0) Δy/Δx｝

面積がわかっている物を並べて、複雑な形の面積を求めようとしているのだと思います。
□の面積は解っているとします。
下の面積は数を数えれば分かます

□
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□□□□□□□
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極座標の場合は、敷き詰めるのに使う微少な図形を変えただけです。
弧の長さはrdθなので、動径方向の微少の長さdrをかけて、
ｄｓ＝rdrdθ
厚みのある弧？みたいな形を敷き詰めて面積を求めようとしています。

直感的な説明でなので、もっと、厳密に理解したいのでしたら、数学概論などの教科書を読むことをお薦めします

お礼

すばやい回答ありがとうございます。
＞微少な面積Δs=ΔxΔyの四角形を、平面Ｄに敷き詰めます
このような考え方を使えばいいんですね～。
参考書などを読んで、もう少し勉強したいと思います。
分かりやすい説明ありがとうございました。