可逆反応の速度式

質問

可逆反応　A⇔B　（A→Bの速度定数をK１　B→Aの速度定数K-1）とするときの速度式について、ｄA/ｄt　＝　-k1A＋k2B、　ｄB／dt　＝k1A－k2Bまでは式を立てれるのですが、この式を積分した式の導き出し方がわかりません。
具体的には、第93回薬剤師国家試験　問２１の問題の解き方がいまいちよく分かりません。
どうか宜しくお願いします。

回答No.2

nious

t=0においてA=a、B=bとしますね。すると、A⇔B より常にA+B=a+bだからB=a+b-Aと表します。

dA/dt=-k1A+k2B=-k1A+k2(a+b-A)=-(k1+k2)A+(a+b)k2
→ ∫dt=∫dA/{-(k1+k2)A+(a+b)k2} → Ce^{-(k1+k2)t}=-(k1+k2)A+(a+b)k2

C=bk2-ak1だから、
A={(a+b)k2-(bk2-ak1)e^{-(k1+k2)t}}/(k1+k2)
B=a+b-A={(a+b)k1+(bk2-ak1)e^{-(k1+k2)t}}/(k1+k2)

回答No.1

noname#70519

dA/dt＝-k1・A＋k2・B　　　　　　　　　（1）
dB/dt＝k1・A－k2・B　　　　　　　　　 （2）

（1）式を t で微分して
d^2A/dt^2=-k1・(dA/dt)＋k2・(dB/dt)
（2）式を代入して
d^2A/dt^2=-k1・(dA/dt)＋k2・(k1・A－k2・B)　（3）
（1）式より
K2・B=dA/dt+k1・A
これも（3）式に代入して
d^2A/dt^2=-k1・(dA/dt)＋k2・{k1・A－(dA/dt+k1・A)}
整理して
d^2A/dt^2+(k1+k2)・(dA/dt)=0　（4）

dA/dt=p とすると
dp/dt+(k1+k2)・p=0
dp/p=-(k1+k2)dt
ln(p/p0)=-(k1+k2)・t
ここで、t=0 における dA/dt を p0 とした。

p=p0・e^{-(k1+k2)・t}
p を元に戻す。ただし、A、B の初期値を A0、B0 として
p0=-k1・A0＋k2・B0 と表せるとする。

dA/dt=p0・e^{-(k1+k2)・t}
∴ A=∫p0・e^{-(k1+k2)・t}dt
={p0/(k1+k2)}・[1-e^{-(k1+k2)・t}]
={(k2・B0-k1・A0)/(k1+k2)}・[1-e^{-(k1+k2)・t}]

式(1) + 式(2)=d(A+B)/dt=0　より
A+B=C（一定）として、これを用いて

B=C-{(k2・B0-k1・A0)/(k1+k2)}・[1-e^{-(k1+k2)・t}]