媒介変数の積分について

質問

ｔが-2≦t≦2の範囲で変化するとき、x=t^2-4 y=t^3-4t　で表される曲線を考える。
この曲線によって囲まれる部分の面積を求めよ。

最後の積分の範囲の部分がわかりません。
x軸対称より
S=2int _{-4}^{0} ydx
=2int _{0}^{-2} (t^3-4t)2tdt

(1)S=2int～とS=int～の違いが分かりません。x軸対称なのはわかりますが、S=int _{-4}^{0} ydxだけでも求める面積を表していると思うのですが…

(2)なぜ0～-2になるのでしょうか？
xの範囲は-4→0だからx=t^2-4に代入すると、0→＋-2
となってしまいます。どちらをとればいいのか分かりません。

以上２点よろしくお願いします。

(2)

回答No.1

orcus0930 · ベストアンサー

(1)
yの表わす量を理解しましょう。
yはx軸からの符号付き距離とすることができますから、
S=int_{-4}^{0} ydxでは上半分（もしくは下半分）の面積しか出していないことになります

(2)
本来なら面積は
S=int_{a}^{b} |y|dx
のようにyには絶対値がついているべきです。
面積は必ず正になりますからね。
ですがこの問題で絶対値を外して考えるなら、yが正の範囲で積分しないといけません。
y=t^3-4tのグラフを想像してみると、（t=0.±2でy=0から容易に概形はわかりますね）
-2<t<0 で y>0
0<t<2 で y<0
となります。
なので、積分範囲を 0～-2 としているんですね。

この手の問題は、xy平面上にグラフを書いてみるといいかと思います。
その際に、特徴的な点（軸との交点や極値を与える点、変曲点など）をとる時のtの値もそえてグラフを書くと、変数変換の際に積分区間な見やすくなりますよ。

お礼

ありがとうございました。とてもよくわかりました。