●○e^xの証明。

質問

「e^x≧1+x+x^2/2!;x^3/3!」を証明したいのですが、
単純に、左辺-右辺≧0を証明しようとしても、
私の計算ミスなのかうまくいきません。
因みに私が試した方法は、ひたすら導関数を導いていくものです。
この証明を、私がやった以外の方法で証明できるのでしょうか？
どなたか宜しくお願い致します。

回答No.2

mick1988 · ベストアンサー

e^x≧1+x+x^2/2!;x^3/3!
;の意味が良く分からないけど、；が＋だと考えたらマクローリンの定理で
３項展開して
e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3!+ (e^θ)*x^4/4!　（０≦θ≦１）

よって、
左辺ー右辺
e^x-(1+x+x^2/2!+x^3/3!)
マクローリンの定理で求めたものを代入
=1 + x + x^2/2! + x^3/3!+ (e^θ)*x^4/4!-(1+x+x^2/2!+x^3/3!)
=(e^θ)*x^4/4!
(e^θ)*x^4/4!は常に正なので、
e^x-(1+x+x^2/2!+x^3/3!)≧０

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

お礼

わざわざ詳しく計算過程まで書いて頂き、本当にありがとうございました。
とても参考になりました。
また是非宜しくお願い致します。

回答No.3

arrysthmia

そのやり方で、できるハズです。
左辺－右辺を x の関数と見て、
ひたすら導関数を求めて、増減表を書きましょう。
４階導関数の正負から話を遡れば、ちゃんと証明できます。

お礼

ご回答ありがとうございます。
もう一度やり直してみます。

回答No.1

koko_u_

>私の計算ミスなのかうまくいきません
それを補足にどうぞ。

お礼

ありがとうございました。
計算し直してみます。