オイラーの公式のe^(ix)を e^(x+i)としてみた場合

質問

e^(x+i)=e^x*e^iをオイラーの公式e^(ix)=cosx+isinxとならべてみると
何となく指数法則がほかにも含まれているような気がするのですが、何か根拠があることでしょうか。具体的には左辺の指数の*と+関係が右辺では逆転していることに関してなのですが・・・

回答No.3

tonsaku · ベストアンサー

補足ありがとうございます。おっしゃる意味が理解できました。

まず、複素数とはなんぞや、と事の確認ですが、その名の通り、要素が二つ(複数)ある数のことです。
任意の複素数zは z=x+iy と表せます。ただし、xとyは実数です。
つまり「複素数＝実数＋純虚数」ということです。
なお、xを「実部」、yを「虚部」と言います。

さて、ここでkaitara1さんの勘違いがあります。
それは、「虚数乗の数」≠「虚数」ということです。
これは確かにややこしいことなんですが、例えば、
　e^iπ = -1
という有名な数式があります。「博士の愛した数式」という小説を知っているでしょうか。その数式こそがこれです。
この数式で、iπは虚数なので、左辺は虚数乗の数ですが、その値は実数です。

#2にも載せたようにe^iは純虚数ではなく複素数ですので、

　e^(x+i) = (e^x) * (e^i)
　　　　　= (e^x) * ( cos1 + isin1 )
　　　　　= (e^x)cos1　+　i　(e^x)sin1

となります。
これを見てわかるように、オイラーの公式と、実は全く同じ形をしています。見た目がややこしいだけなんですね。
どちらも、「ｅの"複素数"乗＝"複素数"」という形です。

ちなみに、もっと一般的に書こうと思えば、
　e^z = e^(x+iy)
　　　= (e^x) * (e^iy)
　　　= (e^x) * ( cosy + isiny )
　　　= (e^x)cosy　+　i　(e^x)siny
となります。

これでお分かりいただけるでしょうか。
複素数は頭がこんがらがりやすいので、じっくり考えてみてください。

お礼

さっそく勉強してみます。ご丁寧にご教示いただきありがとうございました。

回答No.4

tonsaku

#3にさらに補足。

「実数」x は、x=x+i0 なので、
また、「純虚数」iy は、iy=0+iy なので、それぞれ「複素数」とも考えられます。

なので、実はどちらの左辺も「ｅの"複素数"乗」なのです。

回答No.2

tonsaku

すいません、疑問点がわからないので補足していただけるとうれしいのですが...

e^i=cos1+isin1 となって複素数になりますが。

あと、xは実数ですか？複素数ですか?

補足

xは実数のつもりでした。オイラーの公式では左辺にある指数が積の関係にありますが、右辺は実数部と虚数部が和の形になっています。一方e^(x+1)の方は左辺の指数が和の形になっていますが右辺は実数と虚数（乗を含む項）が積の形になっています（というつもりでした）。文章がうまく書けませんでした。よろしくお願いいたします。

回答No.1

noname#111804

オイラーの公式は神秘で不思議です。
eとパイの橋渡しをしているからです。

お礼

私は不思議というより憧れを感じるのですが、ご教示ありがとうございます。