中学生レベル？の整数問題の早い解法

質問

某小説で以下のような、数学の問題の答えを、
高校生が即座に答えているシーンがありました。
「末尾の４を頭に移動すると元の4倍になる整数は？」
という問題ですが、暗算で簡単に答えられる方法があるんでしょうか？

紙に方程式を書いて、解けばよさそうですが、
暗算で即座に解く方法はあるのでしょうか？

ちなみに解答は102564です。

回答No.1

liar_adan · ベストアンサー

私は虫食い算・覆面算のたぐいはだいぶやったのですが、暗算ではできません。
しかし、その登場人物が「すごく頭がいい」という設定なら、
絶対無理というほど難しい問題ではありません。

まず、4倍した数をA、元の数をBとします。
当然4B＝Aです。
さて、Aの最初の数は、4です。これは当然ですね。これを以下のように表現します。
A＝4?...
すると、Bの先頭のケタは、1以外ではあり得ません。
B＝1?...
すると、Aは、Bの数の末尾が先頭に移動したものだから、
2ケタ目以降は1つずつずれているわけです。だから以下が成り立ちます。
A＝41?...

次にBの2ケタ目までを考えます。1ケタ目は1なので、
Bの2ケタ目まで＝1x
と表せます。ここで、
4×(1x)＋繰り上がり＝41
です。
繰り上がりの値は、4倍したときの繰り上がりですから、0以上3以下です。
すると、xに入る数字は、0以外ではありません。よって、
B＝10?...
と書けます。これより、
A＝410?...
と書けます。

Bの3ケタ目をyとします。
4×(10y)＋繰り上がり＝410
これより、yは2以外ではありません。(3だと410を超えてしまうし、
1だと繰り上がりを加えても410に届きません。)
よって
B＝102?...
よって
A＝4102?...

同様にして、Bの4ケタ目とAの5ケタ目は5。

同様にして、Bの5ケタ目とAの6ケタ目は6。

最後に、Bの6ケタ目が4になって、これが条件を満たします。

桁数は大きくても、一度に計算する分は2ケタ程度なので、
暗算でやってやれないことは無いと思います。

お礼

回答ありがとうございます。

＞その登場人物が「すごく頭がいい」という設定なら、
一応ちょっと数学が得意な普通の高校生という設定でした。

上記の解法だと、即座にとはいきませんが、
解くことができますね。
ありがとうございました。