虚数の不思議な等式

質問

i=√-1=√(-1/1)=√(1/-1)=√1/√-1=1/√-1=1/i=-i
この等式はどこがおかしいんでしょうか？
√(1/-1)=√1/√-1 ここらへんが怪しいのはわかるのですが、なぜこのように変形したらいけないのかわかりません。

回答No.8

Grandmaster

確かに一見成り立っているようで
所見では僕もびっくりしましたが、
おかしいところは
√(1/-1)=√1/√-1
ではなく
√-1=√(-1/1)=√(1/-1)
です。

問題なのは√-1をもし√(-1/1)でとった場合、
もちろんiになり、
もし√(1/-1)でとったら、
-iになってしまうというところです。

つまり人のその時の気分で値が変わってしまう
という事が問題なのです。

もっと言えば
√-1＝√(-1/1)または√(1/-1)であることは必要ですが、
√(1/-1)＝iであるのは十分ではありません。

必要十分性を満たしていないことが
この不思議な等式を導いてしまったのだと考えられます。

しかしこの等式（i=-i）ある一点では成り立っています。
それは大きさです。複素平面はご存知ですか？
複素平面にこの点（i,-i）をプロットすると
大きさは1（大きさ自体はプロットしなくても考えられます）
さらに実数から見れば両方とも0上にあるので
実数世界にいる私たち人間からすれば見分けがつきません。

おもしろいですね!!

回答No.7

arrysthmia

a が 0 以外の複素数であるとき、
二乗すると a になる複素数（つまり、a の平方根）は、２個あります。
√a は、その内のひとつを表す記号です。
a>0 の場合には、たまたま、
a の平方根は、一方が正の実数、もう一方が負の実数になりますから、
中学校でも習う「√は正」という簡単なルールで、統一的に扱うことができます。
しかし、a を一般の複素数（負の実数も含む）まで拡張して考えるときには、
√a が２個の平方根の内どちらなのか、スッキリ定まるルールは知られていません。
式に登場する個々の √ について、慎重に取り扱うしかないのです。

√(1/-1)=√1/√-1 の変形に使われた (√a)(√b) = √(ab) という公式は、
√a, √b, √(ab) を、それぞれ２個の平方根の内から適切に選べば
等号が成立するようにできる…という意味では、複素数の √ についても正しい
公式です。しかし、平方根の選び方が違えば、(√a)(√b) = -√(ab) になります。

じつは、√(-1/1)=√(1/-1) の変形に使われた「a = b ならば √a = √b」も、
それと似たようなもので、√a, √b それぞれの選び方がマッチしていなければ、
√a = √b とは限りません。a, b が正の実数でなければ「√は正」ルールは使えない
ことを再確認しましょう。

それでも、√a = √a が成立するとは限らない…と言ったら変な感じがしますね。
ここには、また別の「ひとつの式に現われる √a は、同じほうの平方根と考える」
というルールが使われています。こういうものは、無意識に使われがちです。

以上を確認して、質問の √-1=√(1/-1)=√1/√-1 に戻ると、
√-1 = √(1/-1) の部分が間違いなのか、√(1/-1) = √1/√-1 の部分が間違いなのか
は、大変微妙な問題です。
√(1/-1) = √1/√-1 が成立するような √(1/-1), √1, √-1 の選び方は存在します。
√-1 = √(1/-1) が成立するような √-1, √(1/-1) の選び方も存在します。
しかし、式をつなげて √-1 = √(1/-1) = √1/√-1 とすると、
これを成立させる平方根の選び方は、両式の選び方の組み合わせから自動的に、
√-1 = √1/√-1 の左辺の √-1 と右辺の √-1 が異なるものになってしまい、
「ひとつの式に現われる √a は、同じほうの平方根と考える」ルールに違反します。

回答No.6

kabaokaba

平方根と根号の違いを理解してください．
4の平方根は2と-2の二つ
√4は2です．

正の実数aに対して，x^2=aの解は正負一個ずつ二つあり，
その正の方を√aと表記する．
0に関しては，√0=0と定める．

ここで注意なのは，本質的には
正の実数に対して根号は定義されているということです．
根号に関する各種の計算法則は，分母に0がない限りは
正の実数と0に対して成立するものであり，
負の実数に対しては成立しないのです．
その成立しないことの証拠が質問者氏のあげた式なのです．

ちなみに・・・複素関数論まで出すなら
>であって√－１は必ず2つを意味するのです。
表記法の問題にすぎませんが，
多変数の複素関数や複素解析幾何まで勉強すれば
こんなことはないです．添え字との混同をさけるために
虚数単位の表記として√-1を普通に使います．
もちろん，x^2+1=0の解の任意の「一個」を表すのです．
複素関数論だと多価関数として扱うこともありますが
特異点周りに一周しないように
定義域をカットしてさらに主値をとるとかして
うまいことするものです．

回答No.5

reiman

√ａとはｘ＾２＝ａを満たすｘのことです。
だから√４＝±２とすべきであり、√４＝２とすべきでないのです。
しかしａが正の実数のときだけ慣習的例外的に√ａは2つのうち正のほうをとることにしている。
しかし複素関数論においてはこの例外を止めて√４＝±２としなければならないと言うことです。
そもそもａが正以外の複素数のとき√ａとしてどっちを選ぶかの合理的な手段がないので先のような慣習的例外的な方法がありません。
√－１＝±ｉ
であって√－１は必ず2つを意味するのです。
一方ｉはｘ＾２＋１＝０を満たすｘのうちの一つです。
どちらを選んでも矛盾はないが一旦選ぶと他方は－ｉとしなければならないのです。
要するにａが正の時√ａとして正のものを選んだことの矛盾が表われているだけです。
数学は例外を嫌うとでもいいましょうか。

お礼

iと-iは区別できないんですね。
知りませんでした。ありがとうございます！

回答No.4

yasuhiga

最初から違います。
iは自乗すると-1になる数と定義されおり、√(-1)がiと定義されている訳ではありません。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0
自乗すると-1になる数は-iもあります。
ルートをとった時点で、すなわち、√(-1)がiとしたときも誤りが生じています。
どうでしょうか。

お礼

なるほど、iの定義が違うのですか。

回答No.3

jk-383

こんにちは。
確かに問題は、√(1/-1)=√1/√-1 この等式にあります。
簡単な証明なのですが、

√(-1/1)=√(1/-1)

の関係から

√(-1/1) x √(1/-1) = -1

は成立します。もし、以上の等式が正しいとするならば

√-1/√1 x √1/√-1 = -1

にならなければならないのですが、実際に計算すると

√-1/√1 x √1/√-1 = 1

となります。このことから、以上の等式は成り立たないのではないかと
考えられます。

回答No.2

sanori

こんにちは。

ｉを複素数ｘ＋ｉｙの形で表せば、
ｉ　＝　０　＋　１ｉ　＝　１ｉ

虚部は、実数と虚数単位ｉとの積です。

つまり、あくまでも
√（－１）　＝　１ｉ
です。

√（－１）　＝　１ｉ　＝　√１・ｉ　＝　√（１／１）・ｉ
　＝　√｛（－１）／（－１）｝・ｉ　＝　１ｉ

これ以上のことはできません。

回答No.1

nanashisan_

√a×√b＝√(a×b)が成り立つのはa≧0,b≧0のときだけです。