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対称点
ある軸があり、その軸よりも下に異なる２点A,Bがあるとき 軸上に点Ｑをとったとき、ＡＱ＋ＢＱが最小になるのは Ａを軸に対称な点Ｃをとり、ＣＱ＋ＢＱにすることで わかるというのはなぜですか？ ＡＱ＝ＣＱが相似で等しいことはわかるのですが なんとなく理解できません。
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軸上のある点Qに対して、問題はAQ+BQが最小となるQの場所を 求めることですが、AQ+BQ=CQ+BQとなることはお分かりですね。 CQ+BQとはCを出発してQを通ってBにたどり着く道の長さです。 一方CとBをつなぐ最短の道はその２点間の直線であることは 小学校知識ですね。 とするとQがその直線上にあれば、CQ→QBは一直線になるので CQ+QBの長さも最短になります。 それで、Qの位置を求めることができます。
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- take_5
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所謂“ヘロンの問題”。 過去に同じような質問に答えた事があるが、それをコピーしておく。 問題 平面上に２点Ａ（－１，３）、Ｂ（５，１１）がある。 点Ｑが直線ｙ＝２ｘ上にあるとき、ＱＡ+ＱＢを最小にする点Ｑの座標を求めよ。 点Ａの直線：ｙ-2ｘ＝0 ‥‥(1)に関する対称点をＡ´とし、線分ＢＡ´と(1)との交点をＱとすれば、 (1)上の任意の点Ｑ´に関して、ＡＱ´＋ＢＱ´＝ＢＱ´＋Ａ´Ｑ´≧Ａ´Ｂ＝ＢＱ＋Ａ´Ｑ＝ＡＱ＋ＢＱ。 よって、Ａ´を求めると、Ａ´（3、1）。 従って、直線Ａ´Ｂの方程式は、2y＝-x＋5 ‥‥(2) (1)と(2)の交点Ｑが求めるものから、連立してＱ（1、2）。
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