回路の対称性の考え方

質問

よろしくお願い致します。高校物理です。今、特に対称性のある回路について勉強していますがわからないことがあります。

問題
抵抗値ｒの抵抗線を図のように８本つなぎ、起電力Vの電池を接続した。
Ac間の電流と回路の全抵抗Rを求めよ。

回路は下のとおりです。
　　　　　　　　　　　ｂ　
　　　　　　　　　／　｜　＼　
電池（V）―　a　－　　ｃ―　　e　―　電池（V）にもどる
　　　　　　　　　＼　｜　／　
　　　　　　　　　　　ｄ　

わかりにくい図ですが、a, b, c, d, eはすべてつながっています。a, b, e, dを頂点としたひし形で、対角線が入った状態です。そしてその８本のひし形の辺と対角線がすべて抵抗値rの抵抗線でつながれています。

解説では、これをキヒルホッフの法則で解くために、電流を文字でおくのですが、その際に回路の対称性を利用しているらしいのですが、私は、回路の対称性というのが、いまいちよくわかりません。
解説では、回路の対称性より、電池からでるのが、I.
a-b間とa-d間をI2
a-c間をI1
c-b間とc-d間をI3
b-e間と、d-e間をI2+I3
c-e間をI1-2I3とおいています。
ここで疑問なのは、回路がどこを軸にして対称と考えるかということです。
普通数学だと、x軸やy軸に関して対称といいますが、このような回路では、どこが軸になるのでしょうか？
a-eが軸でしょうか？それとも、b-dが軸？
また、私が解説について疑問に思うのはどうして、a-b間とa-d間はI2とおいたのに、a-cだけ違うおき方なのでしょうか？三つともおなじではないのでしょうか？だから、a-b, a-d, a-cともに1/3Iとでもおいたらいいと思うのですが・・・a-cを軸とみているからですか？
同様に、b-eとd-eが同じなのに、c-eだけ違うのも疑問です。

実際、これを解くと、I1=I2=V/2r, I3=0となり、
a- b, a-c, a-dは同じになります。同様に、b-e, c-e, d-eも同じになります。
それなら最初から、a-b, a-c, a-dそして、b-e, c-e, d-eも同じ文字でおけばいいと思いますが、それでもよいでしょうか？
それともこの問題だけたまたまa-b（a-d）とa-cが等しくなっているのでしょうか？

長くなってしまいましたが、
○回路の対称性というのが、何を軸にして対称と考えればいいのか、
○未知の文字を置く際に、どのようにおけばいいのか教えていただけたらと思います。
補足が必要であればさせていただきますので、よろしくお願い致します。

回答No.4

ht1914 · ベストアンサー

＞それなら最初から、a-b, a-c, a-dそして、b-e, c-e, d-eも同じ文字でおけばいいと思いますが、それでもよいでしょうか？

図から見る限り、ａ－ｃ－ｅについて対称です。ｃとｂ、ｄとは異なっています。出ている線の数で考えるとわかりやすいでしょう。ｂ、ｄからは３本出ていますがｃからは４本出ています。

電流Ｉ１とＩ２が等しくなったのは全ての抵抗が等しいとしたからです。対称性からではありません。Ｒａｂ＝Ｒａｄ≠Ｒａｃ、Ｒｂｅ＝Ｒｄｅ≠Ｒｃｅの場合やはりｂとｄが対称というのは成り立っています。この場合はＩａｂ＝Ｉａｄ≠Ｉａｃです。

全ての抵抗が等しいという場合であれば次の様に考えても電流が等しいということが出てきます。
ｃｂ、ｃｄを外します。
この場合ａｂ、ａｃ、ａｄは全く対等です。ｂ、ｃ、ｄからは全て２本出ています。ｂ、ｃ、ｄの電位は同じです。ここで結線ｃｂ、ｃｄを入れます。同じ電位のところを結んでも電流は流れません。

お礼

御回答ありがとうございます。
なるほど、今回、I1とＩ２が等しくなったのは、抵抗が等しいからであって、対称だからではないのですね。つまり、この問題特有ということですね。一番知りたかったところでした。ありがとうございます。

ただ、後半のcb, ｃｄを外す・・・というところがよくわかりませんでした。この考え方は、この解説の別解のところにも書いてあったのですが、どうして外すのか、外せるのか・・・どうして外そうと考えるに至ったのかなどがよくわかりませんでした。

ただ、外した場合は、全く対等というのは、なんとかなくわかったような気がします。並列でかつ抵抗も同じだからですよね。
等電位のところを結んでも電流が流れないというのは、わかりました。

回答No.6

himara-hus

＃３です。
＞図において、aから見たbルートとｄルートはその先を見ても全く条件が同じです。
＞この条件とは、どういうことを言っているのでしょうか？
a-b-eとa-d-eは抵抗が二つという条件では、a-c-eも同じ条件だと思うのですが・・・

　これは、ルートの取り方や抵抗値など全てです。
　a-b-eとa-d-eは、ｂ、ｄそれぞれからｃへ接続されている形や抵抗値など全く同じですね。
　a-c-eは、ｃからｂとｄに分かれ道があり計三つ分かれ道がありますよね。これに対し、上の二つの場合はｂ、ｄから分かれ道がそれぞれ二つです。違いますよね。

お礼

ご回答ありがとうございます。
お礼が遅くなり申し訳ありません。

今回の場合、抵抗が同じなので、対称性でわからないときは、その点からのでている手の数を数えてみればよいのですね。
度々ありがとうございました。

回答No.5

tadys

"a-b-e"、"a-c-e"、"a-d-e"が対称です。
したがって、b、c、d は等電位となり、"b-c"、"c-d"間には電流が流れないので、
"b-c"、"c-d"の抵抗は取り除く事が出来ます。

"a-c"間に流れる電流を Iacとすると Iac= V/(2r)
全抵抗 R は R=2/3ｒ

＞未知の文字を置く
日本語が変です。「未知数の名前を決める」とかの方が良いでしょう。
名前なんか適当に決めればいいのです。
この場合、ノードの名前が決まっているのでそれを利用するのが良いでしょう。
Iac,Iab,Ibc...

お礼

御回答ありがとうございます。
＞"a-b-e"、"a-c-e"、"a-d-e"が対称です。
これは、この問題において、抵抗が全て同じだからですね。
で、今回の問題では、b, c, dが等電位だからb-c, c-d間は電流が流れず、抵抗はなくてもいい、ということですね。
みなさんのアドバイスでだいぶわかってきました。

そうして考えると、a-b-e, a-c-e, a-d-eの三つの並列になるので・・・簡単な回路に書き換えられるということですね。御回答ありがとうございました。

回答No.3

himara-hus

＃２さんの補足になります。
電流は、電圧の高い方（a)から低い方(e)に流れます。
図において、aから見たbルートとｄルートはその先を見ても全く条件が同じです。これを対象性といっているわけです。
同じ条件だから、同じように電流が流れると言う理屈です。
(a)－(c)は、(a)－(b)、(a)－(ｄ)とは、条件が同じではないので、同じ電流とは言い切れないということです。

お礼

御回答ありがとうございます。ただ、少し理解がついていかないところがあるのですが、
＞図において、aから見たbルートとｄルートはその先を見ても全く条件が同じです。
この条件とは、どういうことを言っているのでしょうか？
a-b-eとa-d-eは抵抗が二つという条件では、a-c-eも同じ条件だと思うのですが・・・
よろしくお願い致します。

回答No.2

foobar

ご質問に書かれている解法では、
a-c-eの線を軸にして上下が対称として解いています。
この場合、adとabは対称の位置にあるので、電流を等しいとおけますが、
acはそれらとは対称の位置にないので「電流は等しい」と置く事はできません。

余談
別の解法として、bcdを軸として解く方法もあります。
この場合、bcdに対して左右対称なので、電圧降下は等しい->bcdは等電位(dに対してV/2)という具合にして解いていきます。

お礼

御回答ありがとうございます。
確かに図からみると、a-c-eを軸とすると、a-b, a-dが対称で、a-cは対称ではありませんね。解説はそのように解いていたのですね。
ただそれは図的にみるとそうですが、a-b, a-c, a-dは間に同じ抵抗が一つ入っているという条件は同じだから、同じようにおけるのではないかな、と思いました。
今回、対称というのは、そういう見方ではなくて、図的に対称だといっているということですね。

もう一点疑問に思ったことがあるのですが、b-c-dを軸として解く方法がある、とのことですが、それがよくわかりません。
というのも、b-c-dに関して対称というと、a-bとb-e, a-cとc-e, a-dとd-eが同じとなりますが、例えばa-bとb-eだと、電池から電流が流れてきたとき、ｂまでは、抵抗が一つだから、電圧はr一つ分だけ降下していますが、eまでは、抵抗二つだから、電圧はr二つ分だけ降下しているので、図的には対象だけれども、流れる電流や電圧はかわってくるのではないかな、と思うのですが・・・
もし、的外れな疑問だと申し訳ないのですが・・・

それから、
＞電圧降下は等しい->bcdは等電位(dに対してV/2)という具合にして解いていきます
の部分もよくわからなかったのですが、どことどこの電圧降下が等しいのでしょうか？
b,c, dが等電位というのもなぜそう言えるのかわかりませんでした。

あまり理解できていなくて申し訳ありません。

回答No.1

endlessriver

回路の対称性の軸と言う意味は良く知りませんが、a-e,b-dの軸で対称のような気がします。
回路接続をそのままにb,c,dの位置を入れ替えても同じ回路ですからb,c,dは同電位です。すればこれらの間には電流は流れず接続を切れます。
すると前提光波簡単に求められます。

お礼

御回答ありがとうございます。
a-c-eに関して対称という考え方はなんとかわかりましたが、
b-c-dに関して対称というのは、いまいち理解できません。
というのも、b-c-dに関して対称ということは、a-b=a-cということになりますが、bまでは、抵抗は１つですが、eまでは抵抗が二つなので、その分電圧降下も大きいので、電圧とか電流もかわるのでは・・・と思うのですが・・・

的外れな質問でしたら、すみません。