z=x^2-6xy-40y^2

質問

z=x^2-6xy-40y^2として、ｘ、ｙ、ｚが素数のとき、ｚの最小値を求めよ、という問題があったのですが
z=(x+4y)(x-10y)と因数分解するとこまでできたのですがここからどうしたらよいのかわかりません。
誰か教えてください・・・

回答No.1

reiman · ベストアンサー

zが素数である以上1と自身以外の約数を持たないので
5<x+4y
だから
x-10y=1
x+4y=z
すなわち
x=10y+1
z=14y+1
が素数になるよう素数yを順次小さい順に入れていけば良い。
y=3
x=31
z=53
では？

回答No.5

take_5

他の人との解と大差ないが。。。。笑

素数とは、1以外の正の整数で、その数自身と1の他の整数では割り切れないものをいう、これを理解することが出発。

z＝(x+4y)(x-10y)　‥‥(1)であるが、x+4y≧10よりx-10y＝1である事が必要。
y＝（x-1）/10であるから、mを自然数として、x-1＝10m、y＝m。‥‥(2)。(2)を(1)に代入すると、z＝14m＋1.
m＝2の時、（x、y、z）＝（21、2、29）。m＝3の時、（x、y、z）＝（31、3、43）。
従って、ｘ、ｙ、ｚが全て素数であるときの最小値は、（x、y、z）＝（31、3、43）。

回答No.4

favre

素数はマイナスの数は含みません。
また「１を除く二つの自然数」を掛け合わせた数も素数ではなくなってしまいます。例えば２×３、３×７など。

よって「x+4y」或いは「x-10y」のいずれかが１にならないと、Ｚは素数になりません。
１になる可能性があるのは「x-10y」の方ですね。
　x=11、y=1　→　y=1は素数でないのでＮＧ
　x=21、y=2　→　x=21は素数でないのでＮＧ
　x=31、y=3　→　Z=43　いずれも素数になりました。

回答No.3

reiman

y=3
x=31
z=43

の間違いでした。

回答No.2

botojc0560

問題を間違えちるようです。

Ｚが二つの整数の積で表されるならＺは素数ではありません。