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z＝x^3+8y^3+3xy の極値
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実関数でよいのですね。 ∂z/∂x=3x^2+3y...(1) ∂z/∂y=24y^2+3x...(2) ∂^2z/∂x^2=6x...(3) ∂^2z/∂y^2=48y...(4) ∂^2z/∂x∂y=∂^2z/∂y∂x=3...(5) 極値だから(1)=(2)=0が必要条件です。 (1)より y=-x^2...(6) (6)を(2)=0へ代入すると 8x^4+x=0 即ち x(x+1/2)(x^2-(1/2)x+1/4)=0...(7) xが実数ならば x=0またはx=-1/2...(8) (8)を(6)に代入して x=0のときy=0, x=-1/2の時y=-1/4 を得ます。ところで(0,0), (-1/2,-1/4)が極値かどうかはこれらの値を(x0,y0)としたときΔx=x-x0, Δy=y-y0などと置いて（１次の微分はゼロになっていることを考慮して） f(x,y)-f(x0,y0)=(1/2){fxx(x0,y0)Δx^2+2fxy(x0,y0)ΔxΔy+fyy(x0,y0)Δy^2}+0ρ^2...(9) ρ=√(Δx^2+Δy^2) となります。ρが十分に小さければ右辺の符合をきめるのは{}の中味の部分の２次形式です。判別式をDとすれば問題になるのは D=fxy(x0,y0)^2-fxx(x0,y0)fyy(x0,y0) です。(0,0)の場合は fxy(0,0)=3, fxx(0,0)=0, fyy(0,0)=0 でD>0ですが。 f(x,y)-f(x0,y0)=(1/2){3fxy(0,0)ΔxΔy}+0ρ^2 で正負が定まりません。 (-1/2,-1/4)の場合は fxy(-1/2,-1/4)=3, fxx(-1/2,-1/4)=-3, fyy(-1/2,-1/4)=-12 D=9-(-3)*(-12)=9-36=-27<0 この場合fxx,fyy<0ですので、値が常に負ですからf(x0,y0)は極大になる筈ですが...
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