(x+y-1)/(x-y)=(y+z-1)/(y-z)=(z+x-1)

質問

(x+y-1)/(x-y)=(y+z-1)/(y-z)=(z+x-1)/(z-x)のとき
(1)x+y+z=3/2
(2)x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx=3/4
(3){1/(x-1/2)^2}+{1/(y-1/2)^2}+{1/(z-1/2)^2}の値を求めよ。

(1)と(2)の値も問題で、上のような値になりました。
(3)は通分して、(1)と(2)をつかうと、分子が０になってしまい、明らかに答えとしては
おかしい。(3)はどうすればよいのでしょうか。よろしくおねがいします。

回答No.7

Tacosan · ベストアンサー

ちょっと確認しましたが, x, y, z として複素数を許せば 0 ですね. #5 は間違ってます.

回答No.6

mister_moonlight

(3)は解なし。

先ほどの計算式は、(ab＋bc＋ca)*(9k＾2-1)＝0

ab＋bc＋ca＝0のとき、ab＋bc＋ca＝‥‥‥＝xy＋yz＋zx-3/4＝0だから、x+y+z=3/2　を使うと、(x＋y＋z)＾2＝3(xy＋yz＋zx)が成立する。
この時、実数である限りは　x＝y＝z となり　不適。

3k-1＝0の時、条件式から、a＝-2b、 c＝-2a　となり、a＋b＋c＝0　と併せると、a＝b＝c＝0となり不適。
3k＋1＝0の場合も同じ。

お礼

実数でないとしたら、(3)の答えとして０となると思うが、
どうなんでしょうか。有り難うございます。

回答No.5

Tacosan

そんな感じになっちゃいますよね＞#4. よかった, #2 は自分の計算ミスじゃなかった.
で, #4 の後半戦に行くと x, y, z が一意に決まりません. そしてさらに (3) の式の値も決まらないってことになるような感じ.

お礼

すみません。前の御礼に、(3)の答えは０にならないと書きましたが、
x,y,zが複素数の場合もあるので、２乗の和は必ずしも０以上でないので
(3)の答えは０ですか。

回答No.4

spring135

(x+y-1)/(x-y)=(y+z-1)/(y-z)=(z+x-1)/(z-x)=tとおいて
3個の方程式を導き、これを解くとtが実数の場合
x=y=z=1/2
しかしこれでは
(x+y-1)/(x-y)=(y+z-1)/(y-z)=(z+x-1)/(z-x)　(1)
の分母が0になるので無意味

よってx,y,zを実数とするなら、はじめからこの計算は無意味。
x,y,zを複素数とすると
3t^2+1=0が要請されるので
t=±i√3/3（iは虚数単位)

しかしこの問題はこんなことを意図しているのだろうか

お礼

ありがとうございます。
x,y,zが複素数の場合もあったのですね。
そうすると、２乗の和が０以上とは限らないので、
(3)の問題の答えは０ですか。

回答No.3

mister_moonlight

実際にやってみて、わかった。

＞(1)x+y+z=3/2
＞(2)x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx=3/4

のうちの、(2)がおかしい。

x-1/2＝a、y-1/2＝b、z-1/2＝cとすると、x－y＝a-b、y-z＝b-c、z-x＝c-a　であるから、条件式は　(a+b)/(a-b)＝(b+c)/(b-c)＝(c+a)/(c-a)＝kとなる。
分母を払うと　(a+b)＝k(a-b)‥‥(1)、(b+c)＝k(b-c)‥‥(2)、(c+a)＝k(c-a)‥‥(3)。
(1)＋(2)＋(3)より、a＋b＋c＝0
(1)×(2)＋(2)×(3)＋(3)×(1)を作ると、(ab＋bc＋ca)*(3k＾2-1)＝0となる。←　計算のチェックはしてね、自信ないから。。。。。。ｗ

従って、ab＋bc＋ca＝0　と　3k＾2-1＝0の3通りを考えなければならない。
続きは、自分でやって。

お礼

(ab＋bc＋ca)*(3k＾2-1)＝0
をどうしても導き出せませんでした。
a,b,c,kの文字を使わないで、３本の連立方程式の分母を払って
両辺加えてやってみましたが、その結果
x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx=3/4となりました。間違いにまだ気づいていません。
ありがとうございます。

回答No.2

Tacosan

なぜ「分子が 0 になるのは答えとしておかしい」と思ったのでしょうか?
ちなみに手元計算によればどんな値にもなります... まあ, 問題が悪いんですが.

お礼

２乗の和より、存在するとすれば０以上で、０になることはない。
ありがとうございます。

回答No.1

mister_moonlight

＞(1)x+y+z=3/2
＞(2)x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx=3/4
＞明らかに答えとしてはおかしい。

自分で確認はしてないが、上の数値を前提にすると、確かに(3)の分子は0になる。

x-1/2＝a、y-1/2＝b、z-1/2＝cとすると、(1)と(2)から、a＋b＋c＝0、ab＋bc＋ca＝0　になる(計算に自信ないから、確かめてね)、求める式＝(1/a)＾2＋(1/b)＾2＋(1/c)＾2 となるから、a＋b＋c＝0、ab＋bc＋ca＝0　を使うと確かに0になる。