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x+y=u、xy=vとする。x^2+xy+y^2=1の最大値と最小値を
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x^2+xy+y^2=1をu,vで書きなおすと u^2-v=1 よって v=u^2-1 (1) uをいくら多いくしても小さくしても(1)の関係さえ成り立ってればよいのではないか、 従ってuの最大値は∞、最小値は-∞と考えたくなりますが 一つ条件を忘れています。 それはx,yが実数であるということです。 x,yを解とする2次方程式は t^2-(x+y)t+xy=0 よって t~2-ut+v=0 これが実解を持つ条件は判別式Dが D=u^2-4v≧0 ∴ v≦u^2/4 (2) u,v平面に(1),(2)のグラフを描いてみると 結局放物線(1)の(2)より下の部分(交点もOK) であることが解ります。 最大値は交点の正の方、最小値は負の方ということで uの最大値は2√3/3、最小値は-2√3/3 さらにこのようなx,yが存在することを確認することが必要です。 u=2√3/3のときx=y=√3/3,u=-2√3/3のときx=y=-√3/3 よってOKです。
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- sanori
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こんにちは。 問題文の書き間違えではありませんか? 本当に 「x^2+xy+y^2=1の最大値と最小値を求めなさい。」 という問題なら、答えは、最大値も最小値も1です。
お礼
よく質問を見ないといけませんね…すみませんでしたorz
補足
すみません。間違ってました。求めるものはuの最大値と最小限です。
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お礼
ありがとうございます。助かりました。