2x^2-2xy+2y^2-12x+12y+27 を因数分解したいです（途中まで解いてみましたが解けません）

質問

2x^2-2xy+2y^2-12x+12y+27
=(x-y)^2-12(x-y)+27+x^2+y^2
=(x-y-3)(x-y-9)+x^2+y^2

(式の中の「^」はべき数です）

ここまでは自分で解けたのですが、最後のx^2+y^2を
どうしてもなかに入れることができません。
私の解法が間違えているのだと思うのですが、どこがいけないのでしょうか？

ヒントだけでも構いません。
解法を詳しく式で解説していただけるとより助かります。
この手の因数分解の解法のポイントがあればそちらも教えて下さい。

※　解答は手元にありません。

回答No.2

take008 · ベストアンサー

２次の項を見ると 2x^2-2xy+2y^2 で判別式 2^2-4×2×2＜０ ですから因数分解できません。
整数の範囲で因数分解できる ⇔ 判別式が平方数
実数の範囲で因数分解できる ⇔ 判別式≧０

2x^2-2xy+2y^2-12x+12y+27=0 は楕円です。
45゜回転するとわかりやすくなります。
x=(X+Y)/√2，y=(X-Y)/√2 を代入して整理してみてください。

お礼

ご回答ありがとうございました。
現役を離れてからだいぶん経ちますので、「答え無し」という問題も有ることを忘れていました。

もしかしたら、誤植か転記ミスかとも思ったのですが、これで気持ち良く眠れます。

回答No.4

rabbit_cat

他の方もおっしゃっていますが、因数分解は、ぱっときれいにできない場合は、基本的には次数の低い文字で整理して、その文字についての方程式だと思って、（他の文字は単なる定数と思う）解いてしまえばよいです。

xで整理すると、
2x^2-(2y+12)x+2y^2+12y+27
なんで、解の公式を使えば、
α=1/2*(6+y+√(-3(y^2+4y+6))
β=1/2*(6+y-√(-3(y^2+4y+6))
として、
2x^2-2xy+2y^2-12x+12y+27
= 2(x-α)(x-β)
と因数分解できます。

ただ、普通は、（暗黙的に）文字式の因数分解は、√とか入らない範囲で行うことになっているので、因数分解不可能が正解ですかね。

回答No.3

aco_michy

私も考えましたが、因数分解できないようです。
アドバイスだけ

>この手の因数分解の解法のポイントがあればそちらも教えて下さい。

x,y２つの文字が入っている因数分解（x,y両方とも２次式）ですから、どちらかの文字に着目して式を整理します。

ｘに着目すると
2x^2-(2y+12)x+2y^2+12y+27
ｙに着目すると
2y^2+(-2x+12)y+2x^2-12x+27
となります。

いま、ｘに着目した方の式を見ると

2x^2-(2y+12)x+2y^2+12y+27・・・（１）
は、形的には、
ax^2-bx+c・・・（２）
と同じ形になっていると考えます。
すると
（２）式を因数分解するときは、たすきがけですね。
すると、cの部分を因数分解してたすきがけをしますよね。
（２）式のcに該当するのが（１）式の2y^2+12y+27の部分です。
この2y^2+12y+27が因数分解できないのですから、
この問題は因数分解できないと思うのですが・・・

回答No.1

tarame

(1)ｘで整理します
(2)たすきがけ　acx^2+(ad+bc)x+bd＝(ax+b)(cx+d)