Laplace変換

質問

L{1/s(s^2 + 9)} についてご教示お願い致します。

ヘビサイド（っていうのでしょうか？）を用いて部分分数分解をしました。
F(s) = 1/s(s^2 + 9) = A/s + B/(s+3i) + C/(s-3i)
A = [sF(s)](s=0) = [1/(s^2 + 9)](s=0) = 1/9
B = [(s+3i)F(s)](s=-3i) = [1/s(s-3i)](s=-3i) = -1/18
C = [(s-3i)F(s)](s=3i) = [1/s(s+3i)](s=3i) = -1/18
∴F(s) = (1/9)/s + (-1/18)/(s+3i) + (-1/18)/(s-3i)

これをラプラス変換したいのですが、答えは
L{F(s)} = 1/18 * {2 - e^(-3i) - e^(3i)}
になりますでしょうか。

オイラーの公式をつかってcosやsinを用いた形にはできないのでしょうか。

また、普通に部分分数分解をすれば
F(s) = (1/9)/s + (-s/9)/(s^2 + 9)　になると思うのですが、
この形からもラプラス変換は可能なのでしょうか。

回答No.2

info22

#1です。
> F(s) = (1/9)/s + (-1/18)/(s+3i) + (-1/18)/(s-3i)
> ↑がラプラス変換なんですか？これは部分分数分解をしただけではないのでしょうか。

良く理解されていませんね。
時間関数f(t)からs領域の関数F(s)に変換するすることをラプラス変換するといい、ラプラス変換されたs領域の関数を大文字のF(s)で表しラプラス変換とます。
F(s)=L{f(t)}で表します。
演算子L{・ }は∫[0→∞] ・exp(-st)dt で定義されますね。
s領域での関数はすべてラプラス変換です。
部分分数展開とは無関係に
(1/9)/s も
(-1/18)/(s+3i) も
(-1/18)/(s-3i)　も
ラプラス変換されたs領域の関数で、ラプラス変換F(s)の仲間です。
s領域関数F(s)を簡単が関数{Fj(s)}（基本的なラプラス関数）の和に分解することを部分分数展開するといいます。
分解された分数関数は、ラプラス変換表に載っている関数になっていて、その表（通常は暗記していて証明や説明無しで利用してよい）から、ラプラス逆変換が簡単に出来ます。つまりΣFj(s)から時間領域関数f(t)＝Σfj(t)に直接変換できます。

> L^(-1){F(s)} = (1/9) - (1/9)cos3t　が最終的な答えなのでしょうか。
最終的な答えです。
つまり、F(s)のラプラス逆変換f(t)= L^(-1){F(s)}を求めた答えです。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

info22

> ∴F(s) = (1/9)/s + (-1/18)/(s+3i) + (-1/18)/(s-3i)
↑これがラプラス変換。
↓これはラプラス逆変換といいます。間違えないで下さい。
> これをラプラス変換したいのですが、答えは
> L{F(s)} = 1/18 * {2 - e^(-3i) - e^(3i)}
↑
逆変換の記号は
L^-1{F(s)}
です。
逆変換はtの関数です。↑の逆変換は間違い。
> ∴F(s) = (1/9)/s + (-1/18)/(s+3i) + (-1/18)/(s-3i)
=(1/9)(1/s)-(1/9)(s/(s^2 +9))　…(A)
↓
f(t)=(1/9)-(1/9)cos(3t) ←ラプラス変換公式を使い逆変換
（↑これは普通のやり方）

>　た、普通に部分分数分解をすれば
> F(s) = (1/9)/s + (-s/9)/(s^2 + 9)　になると思うのですが、
> この形からもラプラス変換は可能なのでしょうか。
(A)の式以降のやり方に一致、ちゃんと逆変換できています。↑

お礼

ありがとうございました。

補足

F(s) = (1/9)/s + (-1/18)/(s+3i) + (-1/18)/(s-3i)
↑がラプラス変換なんですか？これは部分分数分解をしただけではないのでしょうか。

すみません、確かにラプラス逆変換ですね。
L^(-1){F(s)} = (1/9) - (1/9)cos3t　が最終的な答えなのでしょうか。