『たたみこみ』の逆ラプラス変換

質問

”たたみこみ”で逆ラプラス変換の問題を解くものなのですが、
いまいち”たたみこみ”の活用法がわかりません。

　Ｓ^2／｛（Ｓ^2＋４）^2｝

という問題で、これを部分分数分解して逆ラプラス変換すると、

　（１/２）t・ｃｏｓ２t＋（１/４）t・ｓｉｎ２t

となる筈（苦）なのですが。
どうも問題を”たたみこみ”で解くことが出来ないのです。
　Ｌ［ｃｏｓ２ｔ］＝Ｓ／（Ｓ^2＋４）
という関係式を使うのか、と感じてはいるのですが、そこで止まってしまいます。

”たたみこみ”について熟知（？）していらっしゃる方々、御回答お願いします。

回答No.2

nanjamonja · ベストアンサー

失礼しました。もっと簡単に出来ました。
Ｌ＾(-1)［Ｓ／（Ｓ^2＋４）］＝ｃｏｓ２ｔ
を使って
Ｌ＾(-1)［Ｓ^2／｛（Ｓ^2＋４）^2｝］
＝Ｌ＾(-1)［（ｓ/（Ｓ^2＋４））*（ｓ/（Ｓ^2＋４））］
＝∫0からｔまでcos2(t-u)*cos2u du
＝∫0からｔまでcos(2t-2u)*cos2u du
＝∫0からｔまで(cos2tcos2u+sin2tsin2u)*cos2u du
＝cos2t∫(cos2u)^2du＋sin2t∫sin2ucos2udu
途中加法定理・2倍角の公式を使って
＝（１/２）tｃｏｓ２t＋（１/４）ｓｉｎ２t

以上です

お礼

おおお！！（感動）
そうですか、たたみこみとはこのように解くものだったのですね！
有難う御座います、これでテストも出来・・・（ないと思いますが；）

回答No.1

nanjamonja

まずＳ^2／｛（Ｓ^2＋４）^2｝ を部分分数
　1/（Ｓ^2＋４）－4／｛（Ｓ^2＋４）^2｝と分解
この第一式はさらに分解して
（1/４i）*｛1/（ｓ－２i）－1/（ｓ＋２i）｝
この式だけラプラス逆変換すると
（1/４i）*｛ｅ＾（2iｔ）－ｅ＾（-2iｔ）｝
＝（1/2）*siｎ２ｔ　・・・(1)

次に第二式は
Ｌ＾（-1）［２／（Ｓ^2＋４）］＝ｓｉｎ２ｔ　より
ここでたたみこみを使って
Ｌ＾（-1）［-4／（Ｓ^2＋４）＾2］
＝Ｌ＾（-1）［-（2/（Ｓ^2＋４））*（2/（Ｓ^2+４）］
＝-∫0からｔまで（sin2（t-u）*sin2u）du
これを加法定理（2倍角も）を使ってからｔの式をくくりだして
uの式をuで積分すると
＝(1/8)sin2tcos4t-(1/8)sin4tcos2t-(1/8)sin2t
+(1/2)tcos2t
＝-(1/4)sin2t+(1/2)tcos2t　・・・(2)
(1)+(2)より
Ｌ＾（-1）［Ｓ^2／｛（Ｓ^2＋４）^2｝ ］
＝(1/4)sin2t+(1/2)tcos2t　

逆にこれをラプラス変換したらもとの式になりました
裏覚えの部分（公式）はちょっと本を見てしまいました