ω^ω^ω^・・・

質問

お世話になります。

順序数ω^ω^ω^・・・がうまく想像できません。どのようなイメージで考えればよいでしょうか。
また、全射ω→ω^ω^ω^・・・はどのように構成できますでしょうか。

詳しい方がいらっしゃいましたら、解説いただきたいと思います。
ご回答よろしくお願いいたします。

回答No.4

saus

質問はいたってまともであるのなら、
もう少し自分の意見を添えて書いてください。
いちいち、こんな分野説明してる時間ないんですよ。
分野として広すぎて、何をいっていいのか分からない。それこそ書ききれないほど言わせるつもりですか。
熊ちゃんにしか見えないんだから仕方ないわ。. ω.//~

補足

いちおう、質問を投稿してから自分が思いついたことについて書きますので、気が向いたらご意見いただければ幸いです。

ω^ωは、ωの元の無限列(a_k)で、有限個の項を除いて0であるものととらえられると考えました。たとえば、(ω^2)*5+ω*7+2は、(2,7,5,0,0,...)など。そこで、|(a_k)|=Σ_k (k*a_k)でこの無限列の「高さ」を定義します。同様に、ω^ω^ωは、無限列(a_k)の無限列(b_k)で、有限個の項を除いて(0,0,0,...)であるものととらえられると考えました。たとえば、(ω^(ω*2+2))+(ω^(ω*2+1))*3+(ω^(ω*2))*2+(ω^(ω+1))*6+ω*5+4は、((4,5,0,...),(0,6,0,...),(2,3,1,0,...),(0,0,...),...)など。そこで、|(b_k)|=Σ_k (k*|b_k|)でこの無限列の無限列の「高さ」を定義します。以下、帰納的に「高さ」を定義していきます。すると、ω^ω^ω^・・・の任意の元に対して、有限の「高さ」が定まり、任意のn∈Nに対して、「高さ」がnである元の個数は有限個なので、「高さ」が小さい順に並べていけば、極限順序数たちをうまく避けながら、全射ω→ω^ω^ω^・・・を構成できそうに思いました(「高さ」が同じ場合は、適当に並べるとして)。代数的数が可算であることを多項式の「高さ」を使って示しているアイデアと似たアイデアです。

自分でいろいろ考えることで、少しイメージが広がった気がしますが、やっぱり明確に想像することができないんですよね。間違っているかもしれませんし。
集合論の本をパラパラめくってみると、アレフ_{ω^ω^ω^・・・}とか、(弱・強)到達不可能数とか、「大きな数」が紹介されていて、ただただ呆然とするばかりです。