確率論の初歩

質問

確率論の基礎的な事柄を把握しておきたいと思い、
R.B.Ash, "Basic Probability Theory" (1970, 2008, Dover)
の勉強をはじめたのですが、Chap.1.3 の "measurable" の解説でつまずいています。

A：sample space Ω の部分集合
ω：Ω の要素
とした時に、
「ωはAの要素であるか否か？」
という問いに答えられない（YesともNoとも判断できない）Aが存在する

という内容なのですが、Aの具体的なイメージが湧いてきません。
Aの具体的なイメージが分かるような、Ωやωの例がありましたら、お教え頂ければ幸いです。

回答No.6

noname#152422 · ベストアンサー

> 【Ｂ】　Ω の全ての部分集合は event である　（Ω が、有限集合か、又は可算無限集合の場合）
>
> と言っています。

いいえ、言っていません。
そうする場合があると言っています。

何度も言いますが、｛φ、Ω｝も一つのsigma fieldなんですよ。

> 有限集合の全ての部分集合は event であると言っているのに

いいえ、著者はそんなこと書いてませんよ。

同じところを何度も行き来してますねえ。
繰り返しになりますが、これらのことは4番で説明済みです。

どの集合がmeasurable（可測）かどうかということは、sigma fieldを決めないと決まらないのです。Ωが決まってもsigma fieldが一意的に決まるわけじゃなくて、都度誰かが決めてあげないといけないのです。そこがわかってないのかな。

一般位相は知ってるでしょ？そこで開集合族を与える与え方は一通りではないことを習いませんでした？それと同じですよ。

お礼

＞Ωが決まってもsigma fieldが一意的に決まるわけじゃなくて、都度誰かが決めてあげないといけないのです。そこがわかってないのかな。

そこがわかっていませんでした。
やっと理解できました。

どうもありがとうございました。

回答No.5

noname#152422

> この文章の後には、何故そう言えるのかを示す為の解説が続くのですが、私はこの解説の部分がしっくり来なかった

引用のPDFにあるsigma fieldと呼ばれる集合族がΩのベキ集合と一致しない理由がわからないということですか？

それなら｛φ、Ω｝という例を示しましたが、納得いきませんか？

sigma field以前のことであれば、引用のPDFの1.3の最初のほうに、コインを5回投げる試行でA＝｛少なくとも4回表が出る｝とし、最初の3回しかチェックしないという方法で可測かどうか判断するという例が述べられていますね。

補足

テキストのp.10最終行～p.11において、著者は

In a given problem there will be a particular class of subsets of Ω called the "class of events".
..., we require that the event class Ｆ form a sigma field, which is a collection of subsets of Ω satisfying the following three requirements.

(1)　 Ω ∈ Ｆ
(2) A1, A2,... ∈ Ｆ ⇒　　ＵAn ∈ Ｆ
(3) A ∈ Ｆ　　　⇒　　　Ac ∈ Ｆ

と述べています。つまり

【Ａ】　event とは、上記の(1)～(3)の条件を満たす集合族 Ｆ の要素である

と定義しています。さらにp.11の中程で、

In many cases we shall be able to take Ｆ＝ the collection of all subsets of Ω, so that every subset of Ω is an event.
Problems in which Ｆ cannot be chosen in this way generally arise in uncountably infinite sample spaces; for examples, Ω = the reals.

とも述べています。つまり、非可算無限集合が sample space になる場合を除けば、一般に、

【Ｂ】　Ω の全ての部分集合は event である　（Ω が、有限集合か、又は可算無限集合の場合）

と言っています。

しかし、著者がp.10で示したコイン投げの Ω（これを Σ とします）は有限集合です。有限集合の全ての部分集合は event であると言っているのに、有限集合である Σ を用いて、先に述べた命題（I）の逆は必ずしも真ではないことを説明していることが理解出来ないのです。

回答No.4

noname#152422

3番の回答は少々不親切だったので連投します。

2番の補足によると、あなたは

> A：sample space Ω の部分集合
> ω：Ω の要素
> とした時に、
> 「ωはAの要素であるか否か？」
> という問いに答えられない（YesともNoとも判断できない）Aが存在する

が正しいと考えているのでしょうか？

非可測集合が存在しないような例があるので上記引用部分は正しくありません。

それから、1番の補足に

> Ω＝｛表、裏｝のような有限集合の場合に偽となることは自明です。

とありますが、これも正しくありません。なぜならσ-fieldとしてΩのベキ集合をとれば非可測集合は存在しないので偽ですが、{φ,Ω}をとれば非可測集合は存在するので真になるからです。

同じように、2番の補足に

> 【正】Ω＝｛表、裏｝のような有限集合の場合に真となることは自明です。

とありますが、これも正しくありません。理由は上記と同じです。

補足

テキストのp.2において、著者は

An "event" ... corresponds to a question abount the experiment that has a yes or no answer, and this in turn is associated with a subset of the sample space, that is, a collection of points of the sample space. （sample space を Ω とします)

と記述しています。さらにテキストのp.3において、
an event is defined as a subset of the sample space,

A(この A は eventを表しています) will occur in a given performance of the experiment if and only if the outcome of the experiment corresponds to one of the points of A.

と記述していますので、著者は、ω∈Ω　としたときに、

event A　とは、「ω∈A　か？」という問いに対して yes か no の回答を有する、Ωの部分集合（A⊆Ω）である

と定義しています。つまり、

event A は、Ω の部分集合である　　（I）

と言っています。　この点に関しては納得できました。

一方、著者は、Chap.1.3(p.10)で、命題（I）の逆は必ずしも真ではないことについて、解説を行なっています。

It may not always be possible to regard all subsets of Ω as events.
...
for a given subset A of Ω, it may not be possible to give a yes or no answer to the question "Is ω ∈ A ?"

この文章の後には、何故そう言えるのかを示す為の解説が続くのですが、私はこの解説の部分がしっくり来なかったため、上記の部分を簡略化して

「A：sample space Ω の部分集合
ω：Ω の要素
とした時に、
「ωはAの要素であるか否か？」
という問いに答えられない（YesともNoとも判断できない）Aが存在する

という内容なのですが、Aの具体的なイメージが湧いてきません。」

という質問をさせて頂いた訳です。　しかし今、単にこの質問の部分だけを読むと、原文の内容（may no always be possible)が抜けている為に、誤解されても仕方がない内容になっているように思いますので、質問文中の命題の最後に、「場合が存在する」を付け加えて、訂正させて頂きます。

「A：sample space Ω の部分集合
ω：Ω の要素
とした時に、
「ωはAの要素であるか否か？」
という問いに答えられない（YesともNoとも判断できない）Aが存在する場合が存在する

という内容なのですが、Aの具体的なイメージが湧いてきません。」

何故そういう場合が存在すると言えるのかを示す為の解説を著者は行なっている訳ですが、その部分の分かりにくさが本質問の元になっています。

回答No.3

noname#152422

> というご指摘は、誤りであることを言いたかった訳です。

いやいや、あなたの言っていることは矛盾してます。

回答No.2

noname#152422

突っ込みどころがいろいろあるんですが・・・

まず、

> Ω＝｛表、裏｝のような有限集合の場合に偽となることは自明です。

は正しくありませんよ。

{φ,Ω}は一つのσ-algebraを与えますから。

1番回答のヒントの部分についてピンとこないということは、積分論を勉強するのは初めてのようですね。

補足のＵＲＬみましたが、ああいう引用するときはアドレスをポンと書くんじゃなくて何ページとか書いてくださいよ。気にせず先に進むのをお勧めします。

もう一つヒントをいうと、非可測集合の存在はイメージできないことが本質的です。

補足

すみません、書き間違えました。

【誤】Ω＝｛表、裏｝のような有限集合の場合に偽となることは自明です。

【正】Ω＝｛表、裏｝のような有限集合の場合に真となることは自明です。

つまり、

「その命題は偽です。」

というご指摘は、誤りであることを言いたかった訳です。

回答No.1

noname#152422

何となく想像つくのですが、意地悪な言い方をすると必要な条件が質問文に書かれていないので、その命題は偽です。

たとえば、コイン投げのようにΩ＝｛表、裏｝のような単純な場合を考えてみればいいです。

ヒント：ルベーグ非可測集合

補足

必要十分な条件は下記を参照ください。

http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/BPT/BPTCh1.pdf

Ω＝｛表、裏｝のような有限集合の場合に偽となることは自明です。
可算無限集合の場合は「？」
非可算無限集合の場合は「？？」
といった感じです。