ω^ω^ω^・・・

質問

お世話になります。

順序数ω^ω^ω^・・・がうまく想像できません。どのようなイメージで考えればよいでしょうか。
また、全射ω→ω^ω^ω^・・・はどのように構成できますでしょうか。

詳しい方がいらっしゃいましたら、解説いただきたいと思います。
ご回答よろしくお願いいたします。

回答No.4

saus

質問はいたってまともであるのなら、
もう少し自分の意見を添えて書いてください。
いちいち、こんな分野説明してる時間ないんですよ。
分野として広すぎて、何をいっていいのか分からない。それこそ書ききれないほど言わせるつもりですか。
熊ちゃんにしか見えないんだから仕方ないわ。. ω.//~

補足

いちおう、質問を投稿してから自分が思いついたことについて書きますので、気が向いたらご意見いただければ幸いです。

ω^ωは、ωの元の無限列(a_k)で、有限個の項を除いて0であるものととらえられると考えました。たとえば、(ω^2)*5+ω*7+2は、(2,7,5,0,0,...)など。そこで、|(a_k)|=Σ_k (k*a_k)でこの無限列の「高さ」を定義します。同様に、ω^ω^ωは、無限列(a_k)の無限列(b_k)で、有限個の項を除いて(0,0,0,...)であるものととらえられると考えました。たとえば、(ω^(ω*2+2))+(ω^(ω*2+1))*3+(ω^(ω*2))*2+(ω^(ω+1))*6+ω*5+4は、((4,5,0,...),(0,6,0,...),(2,3,1,0,...),(0,0,...),...)など。そこで、|(b_k)|=Σ_k (k*|b_k|)でこの無限列の無限列の「高さ」を定義します。以下、帰納的に「高さ」を定義していきます。すると、ω^ω^ω^・・・の任意の元に対して、有限の「高さ」が定まり、任意のn∈Nに対して、「高さ」がnである元の個数は有限個なので、「高さ」が小さい順に並べていけば、極限順序数たちをうまく避けながら、全射ω→ω^ω^ω^・・・を構成できそうに思いました(「高さ」が同じ場合は、適当に並べるとして)。代数的数が可算であることを多項式の「高さ」を使って示しているアイデアと似たアイデアです。

自分でいろいろ考えることで、少しイメージが広がった気がしますが、やっぱり明確に想像することができないんですよね。間違っているかもしれませんし。
集合論の本をパラパラめくってみると、アレフ_{ω^ω^ω^・・・}とか、(弱・強)到達不可能数とか、「大きな数」が紹介されていて、ただただ呆然とするばかりです。

回答No.3

saus

質問には準同型写像は関係しません
そうです。
へぇ。
そこがわかってない。
まだまだでんな。

回答No.2

saus

でも
2^x
は準同形だから。
やはり
2^2^2^2^2^2^2^2^xも準同形ですよ。

お礼

再度の投稿ありがとうございます。また、説明不足で申し訳ありません。
ωもω^ω^ω^・・・も集合でして、質問にあるω→ω^ω^ω^・・・の「→」は\mapstoではなく\toです。
したがいまして、べき演算である
(x)+(y)|→(a^x)*(a^y) = a^(x+y)←|(x+y)
とは意味が違います。ωは自然数の集合Nと等しいのですが、ω^ωのようにべきに現れると∞の意味に近くなります(と自分では解釈しています)。

定義は集合論の本などに載っていると思うのですが、
0,1,2,...,ω,ω+1,ω+2,...,ω+ω=ω*2,ω*2+1,...,ω*3,...,ω*ω=ω^2,ω^2+1,...,ω^2+ω,...,ω^2+ω^2=(ω^2)*2,...,(ω^2)*ω=ω^3,...,ω^ω,...,ω^(ω+1),...,ω^ω^ω,...
みたいな感じで、ずーっと行った先がω^ω^ω^・・・です。

自分のイメージでは、ω^ωだと、無限個の枝を生やした節を無限の深さにつなげた木みたいなのを想像できるかと思ったのです。ω^ω^ωだと、今考えた木自体を節に見立てて、もう一度同様な操作を行うことになる気がするのが、木と木がちゃんとつながるのかどうか自信がなく、本来の0から数え上げていく定義と違うんじゃないかと疑問が残ったので、集合論を学んだ(学んでいる)方は、どういうイメージを持っているのか知りたくて質問させていただきました。ω^ω^ωでもイメージが描けないので、ω^ω^ω^・・・のような「とんでもないもの」(しかし、可算無限にすぎない！)をどうやって想像しているのだろう・・・と。

長くなってしまい、すみません。この辺で失礼いたします。

回答No.1

saus

^ω^??^ω^イヒ

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BA%96%E5%90%8C%E5%9E%8B

お礼

質問をご覧いただきありがとうございます。
たしかにタイトルはふざけているように見えますが、質問はいたってまともであり、真面目な回答を期待しております。
また、今回の質問には準同型写像は関係しません。
全射についての部分は、単にω発の弾で(ω^ω^ω^・・・)個のターゲットをどう打ち抜くのかが知りたいのです。

補足

お礼欄に書いた「発」「個」は、順序数の後ろにつけるのに不適切な表現でした。訂正します。
意図はご理解いただけると思うのですが。