距離と時間の問題でなぜ私の解法で解けないのかがわかりません。

質問

数学の問題で私のやり方で解けると思ったのですが、
結局答えが間違っていてなぜなのかわからない問題があります。

問題は

A町に住むPさんは峠を隔てて隣のB村まで往復した。
峠の上り坂は毎時４ｋｍで下り坂は毎時５ｋｍの速さで歩いたが、
帰りは峠で１５分間休憩したので、行きも帰りもかかった時間はともに３時間３０分であった。A町からB村までの道のりは何ｋｍか？

といった問題です。

ここで私は方程式ではなく速さと時間は逆比になるという性質をつかって、考えました。

のぼりの速さ：くだりの速さ：４：５
なので、のぼりにかかった時間：くだりにかかった時間：５：４になると思います。

ここで、行きも帰りもかかった時間はともに３時間３０分なので、
３．５として、
のぼりにかかった時間は３．５×5/9で
くだりにかかった時間は３．５×4/9で求めました。

これででた答えはのぼり35/18時間
くだり14/9時間かかったことになったので、
よって距離は速さ×時間で４×35/18＋５×14/9＝70/9+70/9＝140/9で、１５．５．となってしまいます。

問題の解説は方程式で解いていて答えは１５ｋｍとなっているのですが、なぜ私の解法で正解しないのか納得がいかなく困っています。

数学が苦手な私ですが、
お詳しい方おしえてください。

回答No.5

fine001 · ベストアンサー

こんばんは
解けなかった原因は、＃４様の通りですね。

ちょっと違った考え方をしてみました。
往復で考えて見ましょう。往きの上り坂も帰りには下り坂になりますし、また、往きの下り坂も同様に帰りには上り坂になりますから、結局、往きを4km/h帰りを5km/hで歩くことになります。
平均の速さを計算してみましょう、距離をxとした場合、往きの時間はx/4(h)、帰りはx/5(h)です。往復2xの距離を歩くのに、所要時間はx/4+x/5＝9x/20(h)です。したがって、平均の速さは、2x÷(9x/20)＝40/9(km/h)となります。
さて、往復の所要時間は、6時間45分＝15/4(h)ですから、速さ40/9(km/h)で歩くのですから、道のりは　40/9×15/4＝30(km)となります。これは、往復ですから、答えは15(km)です。

回答No.4

arrysthmia

＞ のぼりの速さ：くだりの速さ＝４：５なので、
＞ のぼりにかかった時間：くだりにかかった時間＝５：４になると思います。

までは正しい。この後の

＞ のぼりにかかった時間は３．５×5/9で
＞ くだりにかかった時間は３．５×4/9で求めました。

が、間違い。

３時間３０分を のぼりにかかった時間：くだりにかかった時間 の比に分けているようだが、
３時間３０分は、のぼりにかかった時間 ＋ くだりにかかった時間 の合計ではない。
行きにかかった３時間３０分 ＋ 帰りにかかった３時間３０分 － 休憩した１５分 で、
結局、６時間４５分が、のぼりにかかった時間 ＋ くだりにかかった時間 の合計となる。

のぼりにかかった時間は、６．７５×5/9 時間。
くだりにかかった時間は、６．７５×4/9 時間。

のぼった距離 ＝ 行きにのぼった距離 ＋ 帰りにのぼった距離 ＝ ＡＢ間の距離、
くだった距離 ＝ 行きにくだった距離 ＋ 帰りにくだった距離 ＝ ＡＢ間の距離 だから、
どちらの式から求めても、
ＡＢ間の距離は、６．７５×(5×4)/9 ｋｍ とわかる。

＞ よって距離は速さ×時間で４×35/18＋５×14/9＝70/9+70/9＝140/9で、１５．５

という箇所で、
ＡＢ間の距離 ＝ のぼりの速さ × のぼった時間 ＋ くだりの速さ × くだった時間
としているのも、間違い。

（のぼりの速さ × のぼった時間）＋（くだりの速さ × くだった時間）
＝ のぼった距離 ＋ くだった距離
＝（行きにのぼった距離 ＋ 帰りにのぼった距離）＋（行きにくだった距離 ＋ 帰りにくだった距離 ）
＝（行きにのぼった距離 ＋ 行きにくだった距離）＋（帰りにのぼった距離 ＋ 帰りにくだった距離 ）
＝ 行きの距離 ＋ 帰りの距離
＝ ＡＢ間の距離 ×２

お礼

あ～そういうことですか！

図で表してるときに
なぜ１５分休憩しているのに行きと帰りで時間が同じなんだ？

まさか違う道？でもそんなこといってたら何も考えられないしな～。
と変に考え込んでしまいました。

速さってその一瞬ではなくある一定の距離を歩いたときの平均速度だってことを忘れてました。

この問題ではこのある一定の距離というものが
のぼり坂なら行きと帰りの上り坂、
下り坂なら行きと帰りの下り坂のことをさすんですね！

このくらいの問題なら比を考えないで方程式でやってもｘ、ｙとおけばわかりやすかったです。

比でおいてみても歩いた総時間が６．７５ということがわかれば解けました！

私は数学の文章題で文章の意味がまずわかっていないことが多いので、数学が苦手→嫌いになってしまうんだと思いました。

しかしとても丁寧な説明でよく理解できました！

みなさまわざわざありがとうございました！

回答No.3

anaguma99

15分の休憩はどこに？

行きと帰りを分けて考えるから話がややこしくなります。
A～峠と峠～Bの距離は違うが、
往復で考えると上った距離と下った距離は同じ。

休憩時間を抜いた所要時間の合計は6時間45分＝6.75時間
これは同じ距離を4kmと5kmで歩いた時間の合計。
それぞれ同じ距離を歩いているのだから
所要時間は5:4。つまり3.75時間と3時間。
したがって、上りは4kmで3.75時間、下りは5kmで3時間となる。
いずれにしても15kmで同じ。

回答No.2

noname#65902

> のぼりの速さ：くだりの速さ：４：５
> なので、のぼりにかかった時間：くだりにかかった時間：
> ５：４になると思います。

上りも下りも距離が不明、同じ距離とも限らないのでこの比率が
正しとは限らない。

> ここで、行きも帰りもかかった時間はともに３時間３０分なので、

帰りは途中で15分休憩した結果が3:30なので、所要時間は実は 3:15。

回答No.1

ymmasayan

帰りの峠で休憩した１５分はどうして出てこないのですか。
よく問題を読まない人向けの引っ掛け問題のようですね。