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編微分について。
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> この関数のグラフはz軸が0、すなわちxy平面のみのグラフになるのですよね? f(x,y) = 0 は z=f(x,y)の3次元の曲面を z=0の平面で切った時の切断面の 曲線を表します。 もちろん、この切断面の曲線はz=0(XY平面)上にあります。 > そうすると > f(x,y)=0のときは常に > fy(x,y)=0 > のような気がするのですが、違うのでしょうか 正しく理解されていないようですね。 z=f(x,y)は,XY平面上の曲面ではありません。 ですから 常に、fy(x,y)=0とはなりません。 例 z=(fx,y)=x^2+y^2-1 は円ではなく3次元の曲面です。(x,y)の値をいろいろ与えてやるとzの値が変化します。これを3次元の曲面にプロットしてやると下に凸の回転放物面になります。 z=0の平面で切断すると切断面は (fx,y)=x^2+y^2-1=0 つまり x^2+y^2=1 で半径1の円になります。 この円はz=0のXY平面上にあります。 だからといってz=f(x,y)はXY上の曲面や曲線とはいえません。 実際に、fy(x,y)=2y となってfy(x,y)が常にゼロにはなりませんね。 お分かりでしょうか?
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- arrysthmia
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> f(x,y) = 0 の関数があるとします。 貴方の読んだ本が、本当に、定数関数 f(x,y) = 0 の話をしている のだとすれば、z = f(x,y) のグラフは、z = 0 という図形ですから、 > この関数のグラフはz軸が0、すなわちxy平面のみのグラフになる で正解です。その場合、∂f/∂y も当然、定数 0 になります。 おそらく、 その本は、方程式 f(x,y) = 0 で定義される陰関数の話をしている のだと思います。f(x,y) = 0 と y = g(x) が同値になる、関数 g(x) の話です。その場合、∂f/∂y = 0 となることも、ならないことも あり、一概には言えません。 実際、f(x,y) = x^2+y^2-1 と F(x,y) = (x^2+y^2-1)^2 は、どちらも 同じ陰関数 y = g(x) を定めますが、曲線 y = g(x) 上の各点で、 ∂f/∂y ≠ 0 かつ ∂F/∂y = 0 が成り立ちます。
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