- ベストアンサー
重積分の問題が解けません
info22の回答
- info22
- ベストアンサー率55% (2225/4034)
直接積分すると 立体の対称性からx≧0,y≧0,z≧0の部分の体積を8倍すればよい。また立体の体積はa^3に比例するからa=1とした場合の体積のa^3倍すればよい。 このことから体積Vは以下のように書けます。 V=8(a^3)∫[y:0→1](∫[x:0→{1-y^(2/3)}^(3/2)] {1-x^(2/3)-y^(2/3)}^(3/2) dx)dy =途中の式は複雑ですので省略 (適当な変数変換をした方が簡単かと思います。) =8(a^3)∫[y:0→1](π/32){3-3y^2+9y^(4/3)-9y^(2/3)}dy =4π(a^3)/35 > この方法では正しい解答に行き着きませんでした。 途中の計算を書いて質問してください。 どこがおかしいか分かりません。 > x=u^3,y-v^3,z=w^3,a=b^3 > と置きました。 と置くのではなく、 上記のVの積分で x=u^3,y=v^3→u=rcos(t),v=rsin(t)の積分変換を行うのも 良いでしょうね。 ヤコビアン、積分範囲に注意して積分してください。 いきなり x=(rcos(t))^3,y=(rsin(t)^3 の変数変換も良いかと思います。
関連するQ&A
- 重積分・積分について
重積分・積分の問題です。 1 ∫[0,2π]cosmxcosnxdx (m,n∈Z) まず和積公式を使って cosmxcosnx=1/2{cos(m+n)x+cos(m-n)x}とし、 0→2πで積分して 1/2[1/m+n*sin(m+n)x+1/m-n*sin(m-n)x][0→2π] ここまでは解けるのですがここから解くことが出来ませんでした。 積分区間が0のときはsin0=0ですので考えないとしたんですが、 2πの時にするであろう場合分けが思いつきません。 ここから回答をお願い出来ないでしょうか。 また自分の回答に自信があまり無いので 以下の問題の答えを教えていただけないでしょうか。 2 d/dx(arcsinx)^2 =2arcsinx/(√1-x^2) 3 ∫∫∫D dxdydz/{√1-(x^2+y^2+z^2)} (D={(x,y,z)∈R^3|x^2+y^2+z^2≦1}) 被積分関数は1/{√1-(x^2+y^2+z^2)}より x^2+y^2+z^2=1上の点が特異点の広義積分である。 ここでDa:x^2+y^2+z^2≦a^2とおく。ただしa>0とする。 極座標(r,θ,ψ)を定める。 x=rsinθcosψ y=rsinθsinψ z=rcosθ とおくと Daは Ea:0≦r≦a, 0≦θ≦π,0≦ψ≦2πにうつる。 またヤコビアンはr^2sinθである。 計算は省略します。 積分すると4πa^5/5となり、 lim [a→1-0]として 答えは4π/5 でしょうか。 文章読みにくくてごめんなさい。 回答お願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- 重積分の問題なのですが
∫∫∫[D] (x^2+y^2+z^2)dxdydz. D:x^2+y^≦2azとx^2+y^2+z^2≦3a^2 と言う重積分の問題なのですが、まずやはりaの正負を場合わけするべきでしょうか、次にこの範囲は球とz方向に三次元に広がる放物線に挟まれた領域と考えて重積分すれば解けますか?m(_ _)m アドバイスお願いします(>_<)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 重積分で変数変換(ヤコビ)をするのと、しないのとの違い
初めて質問させていただきます。 重積分の問題について、分からないところがあるので回答をお願いします。 次のような変数変換について x=u*u-v*v y=2uv D{(x,y)|x*x+y*y=<1} が E{(u,v)|u*u+v*v=<1}に移る。 (1).ヤコビアンを求めて積分する (2).変換しないでそのまま積分する (3).(1)と(2)の結果は、なぜそれぞれ違うか 両方のやり方で積分してみて、ヤコビアンの方はできたのですが そのままの方は上手く答えが出ず、 なぜ結果が違うのかわかりません。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 重積分の変数変換問題
重積分について勉強していたら ∬x^2dxdy D:{(x,y)|x^2/a^2+y^2/b^2≦1}を 適当な変数変換を用いて解け …という問題でつまってしまいました。 僕はx/a=u,y/b=vと変数変換して 与式=∬a^3bu^2dudv E:{(u,v)|u^2+v^2≦1} として重積分して =∫[v:-1→1]dv∫[u:-√1-v^2→:√1-v^2]a^3bu^2du =a^3b∫[v:-1→1][u^3/3][u:-√1-v^2→:√1-v^2]dv =2a^3b/3∫[v:-1→1](1-v^2)^3/2dv と求めましたが、これ以降が行き詰ってしましました。 これ以降の計算方法がわかる方、またはまったく異なる計算方法をご存知の方は教えてください!
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 重積分の計算について
以下の重積分の解き方がわからず、困っています。 x=rcosθ,y=rsinθを使えばいいのかなとは思ったのですが、 具体的にどう処理すればいいのかわかりません。 申し訳ありませんが、考え方だけでもご指導お願いできますでしょうか。 【問題】 次の計算をせよ。すなわち、2重積分または類次積分の値を求めよ。 D={(x,y) | 0≦x, 0≦y, x^2+y^2≦1} ∫∫D (y) dxdy 以上、ご指導のほど、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 広義積分教えてください
次の問題説いてください (1) 空間上の(x,y,z)を極座標(r,θ,φ) x=rsinθcosφ , y=sinθsinφ , z=rcosθ に変換するときヤコビアンを求めよ (2) 広義積分 I(a)=∫∫∫(exp-(x^2+y^2+z^2))/((x^2+y^2+z^2)^a) dxdydz 積分範囲はすべて-∞~+∞ についてa=1/2の時のI(1/2)を求めよ (3) I(a)が収束するaの範囲を求めよ (4) 広義積分 J(a,b)=∫∫∫1/((x^2+y^2+z^2)^a)*(|log(x^2+y^2+z^2)|^b) dxdydz が収束するようなa,bの満たすべき条件を求めよ 積分範囲B B={(x,y,z);x^2+y^2+z^2<1/4} (1)のヤコビアンは 行列式 ∂(x,y,z)/∂(u,v,w) を解いて(r^2)sinθ というところまではとけるのですがその後がわかりません よろしくお願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- 重積分の問題なのですが・・・。
重積分の問題なのですが・・・。 ∬(y-6)(x^2+y^2)^(1/2)dxdy 積分区間はx^2+y^2<=4です。 x=rcosθ, y=rsinθとおいて、積分区間の条件より 0<=r<=2, 0<=θ<=2πとおける さらにこのときdxdy=rdrdθとなる 与式=∫[o<-2π]∫[0<-2]{rsinθ-6)(r^2cos^2θ+r^2sin^2θ)^(1/2)}rdrdθ =∬{(rsinθ-6)r^2}drdθ =∫[1/4sinθr^4-2r^3](0<-2)dθ =∫(4sinθ-16)dθ =[-4cosθ-16θ](0<-2π) =(-4-32π)-(-4) =-32π とマイナスになってしまいました、どこが間違えているのでしょうか? すみませんがよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 重積分の問題
(1)∫∫∫_v dxdydz (V={(x,y,z)| x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2≦1}) (2)sin(x+y+z)の三重積分で領域Vは、V={(x,y,z)|0≦x,y,z≦π} (3)平面z=0上に面積確定の有開閉領域Dがあり、その面積をSとする。点Q=(a,b,h)(h>0)をとり、PをDの点として動かすとき、線分QP上の点全体の集合を、Dを底面、Qを頂点とする錐体と呼ぶ。この錐体の体積はSh/3であることを示せ。 上の三問なんですが、(1)は、xを固定して、領域Dとして、D={(y、z)|y^2/b^2+z^2/c^2≦1-x^2/a^2}として解こうとするのですがこれからどうすればわかりません。 (2)は答えは8なのですが、自分は-8になります。 (3)はさっぱりわかりません。 どうかよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございました。 さっそく上記Vの計算をしてみました。 >x=(rcos(t))^3,y=(rsin(t)^3 >の変数変換も良いかと思います。 採用させてもらいました。 結果は次の通りとなりましたが、問題ないでしょうか。 V=8(a^3)∫[y:0→1](π/32){3-3y^2+9y^(4/3)-9y^(2/3)}dy =(9/8)∫[r:0→1]dr∫[θ:0→π/2](1-r^2)^(3/2)r^5(1-cos4θ)dθ =(9π/16)∫[r:0→1](1-r^2)^(3/2)r^5dr