波数のイメージとその次元

質問

題名の通り、波数のイメージとその次元がどうも食い違ってしまうと言いますか、ちょっと納得できないので質問します。
波数の定義は、k=2π/λ（または、本によってはk=1/λ）で与えられています。ここで、私は波数は2πという単位の長さを波長で割っているのであるから、これは単位長さ当たりの波の数だと考えました。大学の先生に聞いてもあやふやな答しか返ってきませんでした。（大学の先生はいろんなこと知っているけど、あまり考えていないの？（疑））
その後、いろいろ調べて「波数は空間周波数とも言える。」と書いてあるのを見つけました。普通、周波数と聞けば、単位時間当たりに何回振動するかだけど、これは時間ではなく空間で与えているだけかと思って納得してしまったのです。
でも、それでは波数の次元は無次元になってないとおかしいではありませんか。
しかし、本で調べたところ、波数の次元はm^-1ではありませんか。
波長の次元はmとして、2πの次元は無次元でないといけません。では、これは角度でradなのでしょうか？
そうすると、先ほど納得したイメージではつじつまが合いません。2πを長さと考えてイメージを作ったのですから。
「波数を定義すると便利だから。」というのを聞いたことがあるのですが、波数のイメージはもてないのでしょうか？（波数っていうぐらいだから、波の数じゃないの？）

回答No.7

oruka · ベストアンサー

おっしゃるとおり波数のイメージは＞単位長さあたりの波の数
でまったくOKです。
ですから次のように考えてはいかかでしょう？
10m中に波が５回あるとき波数を求めるには、5(無次元)÷10(m)ですね。
ちゃんと次元もm^-1となるのはすぐに納得されると思います。
この時、先に波長2mが分かっていたらこういう求め方もできます。
波長は波1回あたりの長さだから10(m)÷5(無次元)として求めますが、
この式は波数とちょうど逆数の関係にあるので、波数＝1/2mと求められます
ここで注意していただきたいのは1mを2mで割っているのではなく、2m(波長)の逆数をとっているという点です。
波数の定義の式も2πmや1mを波長で割ったのではなく、波長の逆数に2πをかけたもの、波長の逆数そのもの、と捉えるのが正しいのです。

もうひとつ波動関数の式 y=Asin(wt-kx)との関係から捉えるのも重要です。
(y:変位,A:振幅,t:時間,x:基準点からの距離)
sin()の中は位相で角度(無次元)なのでw,kの次元はそれぞれt,xの次元の逆数とするのです。ここでkを波長λを用いて求めると2π/λ(rad/s)となります
波動の式としてy=sin2π(wt-kx)の形をもちいた時には2πが消えたk=1/λとなるわけです。
長くなりましたが少しでも直感的理解の助けになれば幸いです。

お礼

今回、最も”僕の”直感にあった説明でした。
本当にありがとうございます。
具体的な数字が出てくると、こんなことだったのかと思ってしまいました。
何か文字に置いて考える癖が付いてしまっていますが、具体的な数字で考えることも必要だと実感しました。

回答No.10

hagiwara_m

ご質問や他の方の回答を再度拝見し、疑問の中味が分かったような気がするので、蛇足を追加します。

2πのことについてはsiegmundさんのお答えに詳しいので、2πなしの方で考えます。

orukaさんのおっしゃるように「1/λ」の意味を、「1m÷波長」のように捉えるのが誤りの元です。波長とは、波１個あたりが占める長さで、その次元はあえて言うなら「長さ/個数」です。この波長の単に逆数をとれば、直ちに、次元が「個数/長さ」の量、すなわち単位長さあたりの波の個数が求まります。基準の長さ（例えば１m）は、波長を表現する単位に既に入っているのであって、あらためて基準長さを決めてそれを波長で割るという操作は必要ない訳です。

お礼

再び回答ありがとうございます。
「そう考えればいいのか！」と思いました。
「個数は次元で無くとも、何か分かるように表記していただいた方が学ぶ人が分かり安いのでは？」・・・・ここで、そんなことを言っても意味ないですね。
僕の説明が悪かったようです。日本語を鍛えなければ。

回答No.9

Mell-Lily

距離x[m]に波長λ[m]の波は、
　x[m]÷λ[m]=x/λ
だけありますから、単位距離当たりの波の個数は、
　x/λ÷x[m]=1/λ[m^(-1)]
になります。また、
　2π×(1/λ)[m^(-1)]=2π/λ[m^(-1)]
ですから、これは、単位距離当たりの位相の変化量を考えているわけです。

補足

2π×（単位長さ当たりの波の数）＝（単位距離当たりの位相の変化量）
なぜ、2πをかけて、位相の変化量になるのか？
１波長で2π進むから、波の個数分だけ位相が進む（or戻る）と考えていいですね。
たぶん、そうなんでしょうが確認なので御回答よろしくお願いします。
後で見た方が分かりやすくしときたいもので。

回答No.8

siegmund

まず，ご自分でいろいろ調べられたり，考えられたりしている姿勢に敬意を表します．
短い間に多くの方々からの回答が寄せられたのも，
touch_me_8 さんの姿勢に皆さんが共感されたからだと思います．

さて，本題ですが，式を見る方がわかりやすいでしょう．
典型的な波は creol さんがお書きのように
(1)　　U(x,t) ＝ U0 sin(kx-ωt)
であらわされます．
簡単のため１次元にしてあります．
U(x,t) は場所 x ，時刻 t での変位，U0 が振幅です．
通常の名付け方は，k が波数， ωが角振動数です(後述)．

まず，sin の中身は無次元である必要があります．
sin(z) のテーラー展開が
(2)　　sin(z) = z - (1/3!)z^3 + (1/5!)z^5 - ...
ですから，z が無次元でないと次元の異なるものを加減することになってしまいます．
x を [m](メートル) 単位，t を [s](秒)単位で測ることにすると，
k は [1/m]，ωは[1/s] という単位をそれぞれ持つことになります．

さて，時間を固定して(t=0 にしましょう)，
(3)　　U(x,0) = U0 sin(kx)
を考えましょう．
x を 0 から増やしてゆくと，
x：0 → (π/2)(1/k) → π(1/k) → (3π/2)(1/k) → (2π)(1/k)
につれて，kx は
kx：(π/2) → π → (3π/2) → 2π
と変化しますから，U(x,0) は
U(x,0)： 0 → 1 → 0 → -1 → 0
となって，元に戻ります(１波長分動いた)．
つまり，x の (2π)(1/k) [m] の幅の中に波がちょうど１個あるのです．
したがって，
(4)　　λ= 2π/k　　<=>　　k = 2π/λ
のλが波長に他なりません．
別の言い方をすれば，x が 2π[m] の長さあたりの波の数が k 個です．
x の １[m] (単位長さ)あたりではないことに注意してください．
2πが出てくるのは，上の説明からわかりますように，
sin(z) や cos(z) の周期が 2πであることに由来しています．

時間に関連するωの方も事情は全く同様で，
(5)　　T = 2π/ω　　<=>　　ω= 2π/T
の T [s] が周期です．
ただし，名前の付け方は必ずしも統一されているわけではなくて，
ωは単に振動数(周波数)と呼ばれたり，角振動数(角周波数)と呼ばれたりします．
しばしば
(6)　　f = 1/T = ω/2π
を単に振動数(周波数)と呼ぶこともあります．
f を用いるなら(1)の ωt の代わりに 2πft と書くことになります．
f とωの記号の使い方には混乱はないようです．

同じ理屈を空間変化の方にもいうのならば，
上の k は角波数とでも名付けられるべきなのでしょうが，
あまり見ません(何度か見たことはあります)．
時間に関連する f と同様に k/2π を何か別の記号で書いてもいいわけですが
これもあまり見ません．

上でも述べましたが，2π は sin や cos の周期性に由来しています．
したがって，2πをどこに背負わすかで，多少表現が異なることになります．
Maxwell 方程式の係数が単位系による(SI 有理化単位系と cgs 非有理化単位系)
こととは直接関係はありません．
Maxwell 方程式とは関係のない音波などでも事情は同じで，
波動一般に共通する話です．

nycnyusa さんがＸ線回折について触れられていますが，
おっしゃるとおり実空間(x)と波数空間(k)とはフーリエ変換の関係にあります．
２度フーリエ変換をすると元に戻りますが，sin や cos の周期性の理由から，
因子 2π をどこかで処理しないといけません．
どっちか片方に全部背負わせてしまう方式と公平に分担する方式とがあります．

> 大学の先生に聞いてもあやふやな答しか返ってきませんでした。
>（大学の先生はいろんなこと知っているけど、あまり考えていないの？（疑））
こりゃ，耳が痛いですね～．
どういうことを専門にしている先生に聞いたんですか？
化学専門だったりすると(人とその人の専門分野によるけれど)，
危ないかも知れません．
逆に，物理屋の私も大学１年くらいの化学のこと聞かれると，
お手上げのことも多いです．
物理系の先生だったら明解な回答が欲しいところですね．
もし，touch_me_8 さんが波動関係の講義を受けていてその先生に質問したのだったら，
明解な回答が帰ってこないのはちょっといただけませんね．

投稿しようと思ったら，同業者(?)の hagiwara_m さんのご回答が出ていました．
> かねてより、波数（英語でもwave number）という言葉が良くないと思っています。
> 「波の繰り返しの線密度」と理解する方がいいです。
> 波の空間パターンの込み合い具合を示す(連続)量です。
なるほど，「波の繰り返しの線密度」はそのとおりですね．
数(number)というと，なんとなく整数量をイメージしてしまう場合がある，
ということでしょうか．
レイノルズ数，なんてのもありますが...

お礼

今までの回答の補足など、詳しくありがとうございます。
>大学の先生はいろんなこと知っているけど、あまり考えていないの？（疑）
感情に任せて失礼なことを書いてしまいました。
一人の人を見て一般化するのも、いただけないと反省しています。
ちなみにそれを聞いたのはエックス線解析などを専門としている先生です。
でも、決して悪い先生ではありません。授業自体は大変分かりやすく、学内でも分かりやすさにかけては上位に入ると思います。
偶々だと思います。

回答No.6

hagiwara_m

蛇足になるかも知れませんが、少し付け加えさせて頂きます。

かねてより、波数（英語でもwave number）という言葉が良くないと思っています。「波の繰り返しの線密度」と理解する方がいいです。波の空間パターンの込み合い具合を示す(連続)量です。

これを表わすには、ある基準長さに、何回（もちろん非整数でよい）の繰り返しパターン（１周期）が入るかを言えば良いわけで、次元は、とりあえず［回数／長さ］。ここで、回数という概念は、基準の任意性がなく、無次元として扱うべきですから、波数の次元は［長さ^-1］になります。実際の単位には、m^-1 や cm^-1 がよく使われますが、単位を付けないと、波の込み具合に関する情報を伝えることができません（メートルあたりなのかオングストロームあたりなのかで全然違う）から、無次元として扱うことはできません。

2π付きは、nikorinさんがおっしゃるように、回数のところを位相角で示す表現です。どちらの流儀をとるかは、使われるジャンルの関係式が簡単になるよう便宜的に選ばれるということだ思います。

なお、2π 自身は単なる実数で無次元。2π rad は、１周すなわち１回に対応するという意味では無次元ですが、座標自由度の角度という意味では、次元を持つとも考えられる、、という訳で、ＳＩ単位系でも「rad(ラジアン)」は、基本単位でなく「補助単位」というやや中途半端な扱いになっています。－少し脱線しました－

お礼

回答ありがとうございます。
波数の質問をして、改めて発見しました。
無次元だと基準がない。
心の中で「おおおっー！」と関心してしまいました。
考えたら当たり前なんですけど。

回答No.5

nikorin

k=2π/λは長さじゃなくて位相で見てるんですよ。
１波長分進めば位相が一回り、すなわちkλ=2πというわけです。

kの次元は[m^(-1)]ですが単位としては[rad/m]で位相の単位radが隠れているんです。
これをみれば明らかなように、単位長さあたりどれだけ位相が進むかという量が波数です。

1mで位相が４π進めば波数は４πで、１波長は２π位相が進みますから、２πを基準にして考えれば、
単位長さに２つ波があるということで、文字通り「波数」ですね。

ちなみに２次元、３次元の波数はベクトルで、波の進行方向を向いています。

お礼

回答ありがとうございます。
長さという発想が駄目でしたか。
位相ですね。普通、2πときたら位相ですよね。
波数という言葉から抜け出せませんでした。

回答No.4

noname#11476

>それが2π[m]の中に何個入っているかですから、つまり、無次元になってしまいませんか？
２πというのはあくまで係数（単位のある定数、常数とは異なります）ですから［ｍ］という単位はありません。無次元です。

つまり、　２π［無次元］／λ［ｍ］ですから１／ｍになるのです。
１ｍの中に何個波があるのかというのが波数です。
もしこれが無次元だと、不明な長さの中にある波の個数を数えることになり、おかしいわけですね。

蛇足ですが、ｃｇｓ単位系だと１／λと２πはつきません。吸光分析などの化学分析では昔からｃｇｓ単位系を使って１／λのほうを使うことが多かったです。（いまどうなったかは分かりません。化学は専門ではないので）
ＭＫＳＡ単位系だと２πが必要です。
（Maxwell方程式でのＣＧＳとＭＡＳＫ単位系の定義の違いから来ています）

お礼

再度回答ありがとうございます。
他の方の回答を見て理解してから回答を見させて頂くと、言いたいことが分かります。
どうも、私は理解力が乏しいようです。

回答No.3

nycnyusa

結晶をＸ線を当ててＸ線回折をさせると沢山の回折点が出てきます。
この点＝波数ベクトルは回折格子の方位ベクトルと直交し、その大きさは格子定数の逆数です。

また、Ｘ線回折の結果はフーリエ変換させるのと同じともいえます。
そのためk=2π/λとすることもありますが、本質的には上で述べたような事です。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.2

creol

波数ですが、字のごとく、波の数です。
正確には、仮に波長λの単位をｍ（メートル）とすると、
波数は、１ｍあたりの波の数です。

波は正弦波であらわされるので、その振幅Uは
U＝U0sin(kx-ωt)
となります。
このときに、時間を固定すると、空間に広がる波の形が上式で
あらわされることになります。
というわけで、ωが時間周波数なら、ｋが空間周波数にあたり、
次元は、
λが1/sであるのに対し、kは1/mと長さであらわされているので、
空間に広がってるということが想像できるかと思います。

波については、線形の場合、重ねあわせが出来き、
フーリエ解析など、波数がやたら出てきます。
この場合、空間にいくつもの波があって、その波の識別はｋによります。

参考になれば。

お礼

回答ありがとうございます。
なんとなく分かったような気になるのですが、何かもやもやしたものが取れないといった状況です。
せっかく、回答して頂いたのに僕の理解力に問題があるようです。

回答No.1

noname#11476

>「波数は空間周波数とも言える。」

この発想でよろしいと思いますよ。
つまり波長は、波の長さを表しています。逆に波数は「単位長さあたりの波の数」を表しているのです。
この単位長さあたりの波の数とはまさに周波数のことです。
たとえば、電気の周波数は、１秒あたりの波の数です。[cycle / sec]
Hzという単位は Hz = cycle /sec という単位なのです。

ですから、波数は cycle / m^-1 になり、通常個数は表記しませんので、 1/ m^-1 となるわけです。

２πの有無については単位系の問題が絡むため、まあつじつまあわせの定数と思ってください。

では。

補足

2πの問題は置いておきます。
でも、波数はcycle/m^-1ではなく、cycleになりませんか？
波長が一つの波の長さを現しているのですから、それが2π[m]の中に何個入っているかですから、cycleになる。つまり、無次元になってしまいませんか？