二次不等式

質問

私は数学というものにめっぽう弱く、何度考えてもさっぱり分かっていません。この問題も普通の人ならすぐに分かるのでしょうが、解いてみたはいいもののあってる自信が全くないです。
間違っていたら詳しい解説を含めて添削をお願いしたいと思います。

(a+b)^2-2b^2>0 , b>0
これを満足するときのbの範囲を求めるのですが、

私の解答は、

0<b<(1±2√2)a/2

となったのですが、やっぱり間違ってますか？

よろしくお願いします。

回答No.1

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ぱっと検算したら合っているようです。プラマイでまとめて書くのではなく、条件を明記して a<0 のときと a>0のときに分けるのが、良いです。

b > 0 の条件は最後につけるとして・・・

(a+b)^2-2b^2>0 について、bについて解く。
展開して整理すると、
a^2 + 2ab - b^2 > 0
　これをbについて整理しなおすと、
b^2 - 2ab - a^2 < 0
　ここで、不等式と同じ形の等式　b^2 - 2ab - a^2 = 0
　を考え、等式の解を b = α、b = βとおく。
　この等式の判別式 は、D = 8a^2 > 0 つまり正になる。
　よって、不等式 b^2 - 2ab - a^2 < 0
　の解のほうは、α < b < β　となる。（α < βとした場合）

等式を解くと、 b = (1±2√2)a/2　となるから、
不等式のほうは、

(1 - 2√2)a/2 < b < (1 + 2√2)a/2　　a > 0 のとき
(1 + 2√2)a/2 < b < (1 - 2√2)a/2　　a < 0 のとき

となる。

ここで b > 0 の条件を加味すると、

0 < b < (1 + 2√2)a/2　　a > 0 のとき
0 < b < (1 - 2√2)a/2　　a < 0 のとき

となる。

・・・万が一間違ってたらごめんなさい。あってるとおもうけど・・・