野球の日本シリーズ、囲碁・将棋の七番勝負

質問

よろしくお願いします。

野球の日本シリーズ、ワールドシリーズや、囲碁・将棋のタイトル戦の七番勝負では、先に４勝したほうが優勝者となります。

以下のように、自作問題を自分で解いてみたのですが、もっと美しいやり方がありそうな気がします。

また、
番数を増やすごとに、強いほうが優勝する確率が１００％に漸近していくことを、表計算ソフトでグラフに表したいと思っているのですが、よいアイデアが浮かびません。

ご意見ください。

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ＡとＢが七番勝負を戦います。
１つの試合でＡが勝つ確率はｐであるとします。
１つの試合でＢが勝つ確率は、ｑ（＝１－ｐ）　です。

このとき、Ａが優勝する確率を求めます。

【１つのやり方】
４勝０敗：　３勝０敗の後に１勝　３Ｃ０×ｐｐｐ×ｐ　＝　１×ｐ^4・ｑ^0
４勝１敗：　３勝１敗の後に１勝　４Ｃ１×ｐｐｐｑ×ｐ　＝　４×ｐ^4・ｑ^1
４勝２敗：　３勝２敗の後に１勝　５Ｃ２×ｐｐｐｑｑ×ｐ　＝　１０×ｐ^4・ｑ^2
４勝３敗：　３勝３敗の後に１勝　６Ｃ３×ｐｐｐｑｑｑ×ｐ　＝　２０×ｐ^4・ｑ^3

これら４つを足せば、Ａが優勝する確率になるので、
Ａが優勝する確率　＝　Σ[k=0→3]　(n+3)Ｃk・ｐ^4・（１－ｐ）^k
ここに、
・第１項は、４勝０敗の確率
・第２項は、４勝１敗の確率
・第３項は、４勝２敗の確率
・第４項は、４勝３敗の確率
であることがわかりやすいというところが利点。

【一般化】
七番勝負を２ｎ＋１番勝負に拡張すれば、
ｎ番勝負でＡが優勝する確率　＝　Σ[k=0→n-1]　(k+n)Ｃk・ｐ^(n+1)・（１－ｐ）^k
・第１項は、ｎ＋１勝０敗の確率
・第２項は、ｎ＋１勝１敗の確率
・第３項は、ｎ＋１勝２敗の確率
・第４項は、ｎ＋１勝３敗の確率
・・・・・

これを表計算で表したい。（横軸は試合数、縦軸はＡの優勝確率）

【ほかのやり方】
４勝した後も第７戦までやることを仮想すればよいので、
・４勝３敗　７Ｃ３×ｐｐｐｐｑｑｑ　＝　３５・ｐ^4・（１－ｐ）^3
・５勝２敗　７Ｃ２×ｐｐｐｐｐｑｑ　＝　２１・ｐ^5・（１－ｐ）^2
・６勝１敗　７Ｃ１×ｐｐｐｐｐｐｑ　＝　７・ｐ^6・（１－ｐ）^1
・７勝０敗　７Ｃ０×ｐｐｐｐｐｐｐ　＝　１・ｐ^7・（１－ｐ）^0

全部足せばよいので、
Ａが優勝する確率　＝　Σ[k=0→3] 7Ｃｋ・ｐ^(7-k)・(１－ｐ)^k

これって、最初のやり方の結果と違って見えますけど、たぶん変形すれば同じになりますよね？

回答No.1

Ishiwara

変形すれば同じになります。
漸化式を使って複雑な処理になると思いますが、パスカルの三角形を描いてみれば、瞬時にして直観的に理解できますから、これで十分なのではないでしょうか。

お礼

ありがとうございました。
お礼が遅くなって、すみませんでした。