オリジナル数Ｂ ２４９

質問

自然数ｎがどのような値をとるとき、不等式2^n＞ｎ^3が成り立つか。

この問題がわかりません。やはり表を使って地道に解くのでしょうか？

回答No.3

take_5

うっかりしていた。
n＝1のときでも成立するのを書き忘れている。従って、n＝1、or、n≧10が答えだね。

回答No.2

take_5

こんな問題は実際に試してみると良い。

n＝1、2、3‥‥‥としていくと、n≧10の時に成立することがわかる。
実際に、2^10＝1024、10^3＝1000であり、2^9＝512、9^3＝729である。
そこで、n≧10の時に2^n＞ｎ^3が成立することの証明方法だが、今私が思いつくのは、数学的帰納法で証明する事。

続きは、自分でやってみて。。。。。。笑
不等式の証明の過程で、ちょつとした機転が必要だが（微分を使っても良い）そんなに難しくはない。

お礼

やはり地道にｎ＝10まで調べるべきですね…
ありがとうございます!!

回答No.1

KappNets

こういう問題は解析的に考えることが容易です。対数をとると
log(n)/n<log(2)/3 (=0.10034)
と変形出来ます。

解が(n=)10 に近いことは見え見えですが、n=10 を代入すると左辺は0.1ですので、解は n>=11 となります。

上の考え方は（対数計算を電卓に頼りたい部分があり）教室数学的にはやや厳密性を欠くかもしれませんが、実用的だと思います。

お礼

対数をつかうのはおもしろい考え方ですね。
ただ少し計算が難しいですね（笑）
ありがとうございました!!