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慣性モーメント
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運動方程式は m↑r''=↑F ('は時間微分を表す） 微小長さｄｓについて運動方程式は、極座標で dm[(r''-rθ'^2)↑e_r+r^(-1)(r^2θ)'↑e_θ]=-μgλds↑e_θ （↑e_r、↑e_θはそれぞれr方向、θ方向の単位ベクトル） 両辺に↑r=r↑e_rを外積で掛け、r=a,dm=λds,ds=λadθに注意すると、 λa^3θ''dθ=-μgλa^2dθ 両辺を円環全体にわたって積分すると 2πλa^3θ''=-2πμgλa^2 2πλa^3の部分が慣性モーメントです。微分方程式を解くのはできますね。
- htms42
- ベストアンサー率47% (1120/2361)
円盤ではなくて円環ですね。 この場合は慣性モーメントを使わなくても答えることが出来ます。 円周の全ての点で同じようにエネルギーを失います。ｄｓの部分でその部分のエネルギーを失うのと円環全体で全体のエネルギーを失うのと移動距離、移動時間は同じです。 微小長さｄｓについて運動エネルギーが摩擦力で失われるという関係を使えばこすっている間の移動距離ｘを求めることが出来ます。 運動エネルギー＝(ｄｍ/２)ｖ^２＝(ｄｍ／２)(ａω)^２ 摩擦に逆らってする仕事＝摩擦力で失われるエネルギー＝|ｄｆ|ｘ ＝（μｄｍｇ）ｘ 回転数＝ｘ／２πａ ｄｍ＝λｄｓ です。 慣性モーメントは全体のエネルギーを (1/2)（ )ω^２とした時の（ ）の部分です。それをＩと置いています。 円環の場合の慣性モーメントがＩ＝２πλａ^３であるということは円環の質量をｍとすると Ｉ＝ｍａ^２ です。
運動方程式は立てましたか。 力学の問題は、運動方程式を立てなくては話になりません。 微小長さｄｓについて運動方程式を、極座標で、立てる。 運動方程式の両辺に位置ベクトル↑rを外積で掛け、両辺を積分する。 得られた微分方程式を解く。 角速度dθ/dtが０になる時刻を求め、さらにその時刻における偏角θを求める。 得られたθを2πで割る。 以上の手順でやってみてください。
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