微分積分

質問

数学の問題を解いたのですが、解答がないので答え、途中式があっているのか分からず困っています。
皆さんの力を是非お貸しください。

I　f(x)=x^x(x>0)の最小値を求めよ。
＊x^xは「xのx乗」と言う意味です

私の解答)[対数を使うのでは？と思いました]
g(x)=logf(x)=xlogx
xは0に近づくにつれ、限りなく0に近くなる。
logxもxが0に近づくにつれ、logxは小さくなる。
よってxlogxは限りなく小さくなり、
最小値はない。・・・・(答え)

II　∫xe^(－ax) dx(a>0)を計算せよ。
　[0 ∞]
＊∫　　は定積分で∫の上側に∞、下側に0がある意味で使っています
[0　∞]
＊e^(－ax)はeの－ax乗と言う意味で使っています。

私の解答)[部分積分を使うのでは？と思いました]
f =x f' =1 g' =e^-ax g =-a・e^-ax

∫xe^(－ax) dx=[-ax・e^(-ax)]－∫(-a・e^-ax)dx
[0 ∞]　 　　　　　　　　[0 　∞]　　　[0　∞]
=-a・e^-ax・∞+a・e^-ax　・・・・(答え)

III　∫xcos(ax)dx(a≠0)を計算せよ。
　[0　1]

私の解答)(IIと同様に部分積分か？と思いました)
f =x f' =1 g' =cos(ax) g =sin(ax)
∫xcos(ax)=[xsin(ax)]－∫sin(ax)
[0　1]　　　[0　1]　　　　[0　1]
=sin(a)+[cos(ax)]
　　　　　　[0　1]
=sin(a)+cos(a) ・・・・(答え)

特にIIの∫の範囲(？)に∞が入ったものを経験したことがなく、手持ちの本にも例題がなくxにそのまま代入してよいのか分かりません。

よろしくお願いします。

回答No.2

Qmv

方針の立て方はII、IIIはあっていると思いますよ。

ただ、途中計算が間違っているケースがいくつか・・・。
例えばcos(ax）の積分のように複合的なものの微分、積分の計算を見直すこともオススメします。

∞が入っているものは、「でっかいものがｘに入っていればなにに収束するか」を考え、収束する値を答えればよいわけです。
例えばe^-axのx=∞は0に収束するわけなので、その部分の値は0とすればいいですよ。∞-c（←c:定数）ならば、でっかいものからちょっとした数をひいてもでっかいから∞-c≒∞と考えます。

Iにもどりますが、最大、最小の問題では微分してみるとよいのではないでしょうか。微分することで接線の傾きがわかるので、おおよそのグラフを得ることが出来ますよ。

前のかたの回答にあるとおり、設問中の問題となっている変数がそのまま答えとなることはありません。これでは途中の状態になってしまいます。

これを参考に、もう一度解きなおしてみてはいかがでしょう？

お礼

回答ありがとうございます。
計算間違いは大学に入ってから本当に多いです(ToT)
高校の数学は適度なスピードだったのですが、大学では高校の5倍のスピードで行くと言われ、ついていけてないです。
複合的なものの微分、積分の計算とQmvさんがおっしゃる微分、積分の計算も昨日大体の感じをやっと掴んだだけで・・・。
まだまだ勉強不足みたいです。
＞e^-axのx=∞は0に収束するわけなので、その部分の値は0とすればいいですよ
これも指摘されたり、よく考えてみれば分かるのですが、問題を解く際になると忘れてしまうものですね。

もう一度やってみます。
回答ありがとうございました。