にゃんこ先生の自作問題、2^nのある勝手にゃ位の数字が1である確率は？

質問

にゃんこ先生といいます。

nは自然数として、
2^nを十進法で書いて並べたもの、
(2;4;8;1,6;3,2;6,4;1,2,8;2,5,6;5,1,2;1,0,2,4;2,0,4,8;,,,,)
(ただし、この数列の値域は1から9)
の左からm番目の数字が1とにゃる確率を知りたいのですが。

個人的な実験の結果、その確率は定まらにゃいように思うのですが、実際のところどうにゃのでしょうか？

回答No.3

Aronse · ベストアンサー

>>dongri5656さん
「ご自分の判断や不明点の説明もなく回答のみを求める質問はマナー違反」は削除対象とありますが、今回は「個人的な実験の結果、その確率は定まらにゃいように思う」と質問者様も書かれていますので問題ないと思われます。安易な削除依頼は運営の妨げになると思いますのでおやめください。数学の純粋な探求に対しこのサイトの門戸は開かれているものと認識しています。

>>質問者様
興味深い問題だと思いました。
実際、n以下の自然数に何か（今回は1）がどのくらいで存在するかという形式の問題は他にもあります。
素数に関してはn以下の自然数で素数のものの個数をπ(n)と表し、この値に関する研究は有名で長い間（今も）されています。専門ではないので書けませんが詳細は「ζ関数」などのキーワードでお調べください。

いきなり極限値を求めるのは難しいと思います。まず、2^k（kは定数）について、その10進法表示に1がいくつ含まれているかを考えたほうが良いかもしれません。割と大きなkについて（計算機で）何個くらいあるか調べてみるのもいいかもしれません。

お礼

ありがとうございます。
π(n)/n ～ 1/log(n)
は素数定理ですね。
2^k（k=1,2,3,,,）の最高位の数字の分布については、
ワイルの一様分布定理
にゃどである程度分かっているのですが、
2^k（k=1,2,3,,,）の全部の位の数字の分布についてが気ににゃっています。

回答No.6

rukuku

再びrukukuです。

＞個人的な実験の結果
この内容が気になります。方法を教えてください。

＞(第m項までの1の個数)/m
＞において、m→∞としたときの挙動です。
質問内容からして、(第m項までの1の個数)/(第m項までの数字の個数)、他の数に関しても同様、と解釈して回答します。

厳密な数学が苦手ですが考え方として、
m→∞としたとき
・偶数の個数と奇数の数を比較した場合には、偶数の割合が0.5以上。
　（2^nの１の位は必ず偶数であるため）
・０は他の数より出現数が少ない
　（最上位が０になることは無いため）
ということが言えます。

n=1～n=49で試したところ（実験に使ったプログラムが間違っていなければいいのですが）、
394の数字が出現し、
数字 個数 出現率
0 24 6%
1 44 11%
2 45 11%
3 37 9%
4 52 13%
5 32 8%
6 40 10%
7 42 11%
8 47 12%
9 31 8%
となりました。
偶数の出現数は２０８(５３％)
奇数の出現数は１８６(４７％)
です。

回答No.5

arrysthmia

短期間に、同様の質問を繰り返しているようですが…

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4081619.html

回答No.4

dongri5656

削除依頼はしましたが、ではお答えしましょう。
確率は定まりません。
理由は、２進数の各桁の重さを分解して１０進数にして
並べてもそれは基数がちがう以上何の関係もないから。
16(イチロク)とは10進数のその２桁で初めて意味をもって
いる価値であって、それを分解しても秩序がめちゃめちゃ
になるだけ。こんなの数論の根本でしょ。

どなたかご批判の方へ
（このサイトでは他の回答者を名指ししてもいけない！）
それは自由でしょ。あなたが私の脳の中に入ってきて
その判断はちがうということは傲慢なことです。
それとも自分だけは正しいと？

お礼

2^k（k=1,2,3,,,）の最高位の数字の分布については、
ワイルの一様分布定理、ベンフォードの法則
にゃどである程度分かっているのですが、
2^k（k=1,2,3,,,）の全部の位の数字の分布についてが気ににゃっています。

回答No.2

rukuku

はじまして

このご質問には、「確率」という概念が当てはまらないと思います。
なぜなら、ｍが決まれば「確実に」ｍ番目の数字が1であるかないかが決まるからです。
例えば、
ｍ＝１のときには「確実に」、ｍ番目の数字は２であり、
ｍ＝４のときには「確実に」、ｍ番目の数字は１です。

お礼

あいまいにゃ質問ですみません。
厳密には、(2;4;8;1,6;3,2;6,4;1,2,8;2,5,6;5,1,2;1,0,2,4;2,0,4,8;,,,,)
という数列において、
(第m項までの1の個数)/m
において、m→∞としたときの挙動です。
それが定まればその極限値を、定まらにゃくても評価式があれば知りたいと思っているのですが。

回答No.1

dongri5656

自作問題のお披露目ですか？
スタッフに通報済みです。ほどなく削除されるでしょう。