確率の問題です

質問

なにから手をつけていいか全くわからないので解答を教えてください

問
1から9までの数字を書いたカードがそれぞれ1枚ずつ合計9枚入った箱がある。この箱からカードをまずつ1枚取り出し、それを戻さずにもう1枚取り出す。このとき取り出した2枚のカードをでた順に左から並べて2桁の数Aをつくる。さらにAの一の位と十の位の数字を入れ替えた数をBとし、
N=| A^2 -B^2 | とする

(1)Nが99の倍数になることを示せ
(2)Nが36の倍数になる確率を求めよ
(3)Nが81の倍数になる確率を求めよ

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

うーん。これは、A No.3 が正しいね。
省略せずに、(3) を mod 3 でやってみると、
(2) が mod 2 でできたのは 2 の特殊な事情で、
(3) は mod 3 でなく mod 9 でやらないといけない
ことが判る。「同様に」では済まなかった。

回答No.3

yyssaa

(1)Nが99の倍数になることを示せ
＞2枚のカードを順にa,bとすると、10a+b=A、10b+a=B、
A^2=100a^2+20ab+b^2、B^2=100b^2+20ab+a^2だから
N=|A^2-B^2|=|(100a^2+20ab+b^2)-(100b^2+20ab+a^2)|
=|99a^2-99b^2|=99*|(a+b)(a-b)|となり、(a+b)も(a-b)も
共に0以外の整数なので、|(a+b)(a-b)|は正の整数となり、
Nは99の倍数になる（証明終わり）
(2)Nが36の倍数になる確率を求めよ
＞99と36の最小公倍数は396。nを正の整数として
N=99*|(a+b)(a-b)|=396nとおくと、|(a+b)(a-b)|=4nであり、
b＜aとするとa^2-b^2=4n、すなわち1≦b＜a≦9で
a^2-b^2が4の整数倍となる組合せ(a,b)を探すと、
(3,1)(4,2)(5,1)(5,3)(6,2)(6,4)(7,1)(7,3)(7,5)(8,2)(8,4)
(8,6)(9,1)(9,3)(9,5)(9,7)の16組あり、これらは(b,a)で
あっても|(a+b)(a-b)|=4nが成り立つので、Nが36の倍数に
なる確率は、16/(9C2)=16/36=4/9・・・答
(3)Nが81の倍数になる確率を求めよ
＞99と81の最小公倍数は891。nを正の整数として
N=99*|(a+b)(a-b)|=891nとおくと、|(a+b)(a-b)|=9nであり、
b＜aとするとa^2-b^2=9n、すなわち1≦b＜a≦9で
a^2-b^2が9の整数倍となる組合せ(a,b)を探すと、
(5,4)(6,3)(7,2)(8,1)(9,3)(9,6)の6組あり、これらは(b,a)
であっても|(a+b)(a-b)|=9nが成り立つので、Nが81の倍数に
なる確率は、6/(9C2)=6/36=1/6・・・答

回答No.2

alice_44

取り出したカードを x,y とすると、
A=10x+y, B=10y+x だから、代入整理して、
N=99(x+y)｜x-y｜ となる。

(1) 上記。

(2) 上記より、N が 36 で割り切れることは、
(x+y)｜x-y｜ が 4 で割り切れるということ。
x,y を 2 で割った余りを考えると…
余りが 0,0 のとき、それは成り立つ。
余りが 0,1 のとき、それは成り立たない。
余りが 1,0 のとき、それは成り立たない。
余りが 1,1 のとき、それは成り立つ。
つまり、
x,y の偶奇が一致するとき、条件は成り立つ。
その確率は、(4/9)(3/8)+(5/9)(4/8) = 4/9.

(3) 上記と同様に、今度は、
x,y を 3 で割った余りの組で分類する。
(以下省略)

回答No.1

Tacosan

(1) は 99 の素因数分解と N の因数分解を見比べる.
(2) と (3) は, それぞれ A と B の関係を考える.