大小関係を平均値の定理を使って解く問題です

質問

「正の実数a,b,pに対して、Ａ＝（a+b）^p とＢ＝2^(p-1)(a^p+b^p）の大小関係を調べよ。」
という問題で、解答は、
a<=bとしても一般性を失わない。a<bのとき、
B-A=2^(p-1)（a^p+b^p)-(a+b)^p=2^(p-1){a^p+b^p-2(a+b/2)}
=2^p-1〔{b^p-(a+b/2)^p}-{(a+b/2)^p-a^p}〕
ここで平均値の定理により、a<c<a+b/2<d<bであるc,dが存在して、
Ｂ-Ａ2^(p-1)*b-a/2*p(d^(p-1)-c^(p-1)―――――――***
より、
0<p<1のときB-A<0、p=1のときB-A=0、p>1のときB-A>0
したがって一般に
a≠bのとき、0<p<1ならA>B、P=1ならA=B、p>1ならA<B
またa=bのときA=Bは明らかである。

―――――――***の部分がわかりません。
平均値の定理は３つの数の関係ではないのでしょうか。
５つの数でも関係が成り立つのでしょうか。
５つの数での解説は見当たらず困っています。
解説よろしくお願いします。

回答No.2

Tacosan

b-(a+b)/2 = (a+b)/2-a = (b-a)/2.

補足

自分の場合はそれらを引き算してしまったのですが、間違いだったのですね。
（=2^(p-1)〔{b^p-(a+b/2)^p}-{(a+b/2)^p-a^p}〕に引きずられてしまいました）
すみません。

回答No.1

Tacosan

まず, 括弧は適切に付けること. a+b/2 は「a に b/2 を足したもの」と読むんだけど, それで趣旨はあってますか?
流れからすると, a<c<(a+b)/2<d<b から「a, c, (a+b)/2」に対して, また「(a+b)/2, d, b」に対してそれぞれ平均値の定理を使ってるような気がする.
でなければその上でわざわざ (a+b)/2 を導入した意味がないし.

補足

ごめんなさい。(a+b)/2です。また、(b-a)/2です。
それぞれに平均値の定理を使っても、(b-a)/2という数が出てきませんでした。単なる計算間違いなのかもしれませんが…