平均値の定理について

質問

微分積分の平均値の定理について、質問がございます。なぜ、[a,b]において連続であり、(a,b)で微分可能でないとだめなのでしょう？[a,b]で微分可能である必要はないのでしょうか？

回答No.3

kurobe3463 · ベストアンサー

簡単な例．

円（中心が原点，半径1）の上半分を表す関数
　y＝√(1－x^2)
は[－1，1]で連続．
しかし，微分の定義（極限）はx＝1，－1で発散するのでその点では微分不可能だが，それ以外では微分（極限）が存在するので，(－1，1) で微分可能．

で，[－1，b]　（－1＜b≦1）で平均値の定理が成り立つでしょ（証明も出来るけど，とりあえず絵を描けば成り立ちそうなことが想像できる）．

だからまさに，postro さんのおっしゃるとおり
「[a,b]で微分可能である必要はない、(a,b)で微分可能であれば十分だ。」
と言えるのです．

お礼

ご回答ありがとうございました。なーるほど。とてもわかりやすい回答でしたね。とても参考になりました。ありがとうございました。

回答No.2

KENZOU

このサイトの参考URLも参考になると思います。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=739805

お礼

ご回答ありがとうございました。あ、そうですね。
前に質問なさっている人がおられたようですね。もっとよく検索しなければ。ご指摘ありがとうございました。

回答No.1

postro

(a,b)よりも[a,b]の方が範囲は広いです。ですから、[a,b]で微分可能なら、当然(a,b)でも微分可能です。
平均値の定理は、[a,b]で微分可能である必要はない、(a,b)で微分可能であれば十分だ。
と言っているのだと理解すれば良いのではないでしょうか。
具体的には、ａ（またはｂ）での+方向からの微分係数(極限）と-方向からの微分係数（極限）が一致しなくても（微分可能でなくても）平均値の定理は成り立つと言っているのだと思います。
もっと具体的には、　ｆ（ｘ）＝｜ｘ＾２　－１｜　はｘ＝１において微分可能ではないけれども、連続なので、
(ｆ（２）－ｆ（１））／（２－１）＝ｆ’（ｃ）　　１＜ｃ＜２
を満たすｃが存在する。
という平均値の定理は成り立つ。ということでしょう。

お礼

ご回答ありがとうございます。確かにそうですよね。
微分するということは、x=a,bの点そのものは含まなくてもいいわけだから、(a,b)は含まなくても良いわけですからね。ありがとうございました。