平均値の定理の仮定(？)について

質問

平均値の定理で"区間[a,b]で連続で、区間(a,b)で微分可能ならば～"となっていますが
連続性は閉区間で求められているのに、微分可能かどうかは開区間で求められてることの理由が分かりません

何かそこに重要な理由があるのでしょうか？よろしくお願いします。

回答No.3

graphaffine

>微分可能かどうかは開区間で求められてることの理由が分かりません

点xにおける微分係数の定義はlim[h→0](f(x+h)-f(x))/hです。
ここで、h→0とはhを右側及び左側の両方から0に近づけることを表します。
しかし、xが閉区間[a,b]の左端aの場合には、左側から近づけることができません。
hが負ならばa+hはaより小さくなり、定義域を外れるためです。以上が、ご質問で
求められている理由です。

以降は記憶が多少あやふやですが、閉区間の端点でも微分可能とするためには、次の2つの
流儀があったと思う。

(1)左端では、lim[h→+0](f(x+h)-f(x))/hで、微分係数を定める。ここで、h→+0とは、右側からのみ0に近づけることを表します。
(2)左端aにおいては、aを含む開区間にfの定義域が拡張できるとき、その開区間における微分係数をaの微分係数と定める。

回答No.2

Tacosan

それだけかどうかはわかりませんが, 少なくとも「そのパターンでも扱えた方がべんり」ではありますね.

回答No.1

Tacosan

y=√x とか?

補足

あ、つまり単純に端では連続であったとしても、微分はできないから含まないということでいいのでしょうか？