自然対数の底でe^πi=-1が成立するのを理解するには？

質問

こんにちは。当方、文系の元学生です。受験の都合上、高校数学は数I、基礎解析、微分・積分、確率・統計までで数IIIは勉強していません。ある本でタイトルの式のことを知ってとても不思議に思い、理解してみたいと思いました。理解したからといって何の役にも立たないのは十分承知です。
理解するのに必要な基礎知識や初歩から解説してあって高校生でも理解できる本などがありましたらご紹介ください。

残念ながら文系の人には理解できないから時間の浪費だよ、というアドバイスでもけっこうです。(^^;

よろしくお願いします。

回答No.3

mmky · ベストアンサー

[e^πi=-1が成立するのを理解するには？]ですね。
＃１、＃２さんの参考URLなどをみてやってみますか。
結論を先に言えば、
e^πi=cos(π）+isin(π）=-1 　cos(π）=-1 だからなのです。
やりかたが理解できればOKですね。
ちょっと長いけど参考まで
（1）説明のためにe^ｚとします。e^ｚというのはｚを変化させると、指数関数的に増加します。e^ｚ≒（2.73)＾ｚ　指数関数的に増加する関数（グラフで考えてね。）は急激な右肩あがりのカーブです。このカーブを指数以外で
表現することが出来ます。べき数で展開するやり方です。
結果は、
e^ｚ＝1+ｚ+z＾2/2 + z＾3/6 + z＾4/24 + z＾5/120 ・・・・・・
(2)このべき数で展開するやり方は、同じようにcos(z),sin(z)で同じように使います。結果は、
cosz=1- z＾2/2 + z＾4/24 +・・・・・
sinz=ｚ- z＾3/6 +z＾5/120 + ・・・・・・
になります。coszが偶数、sinzが奇数項になっています。±がありますが
e^ｚの展開式に似てますね。
(3)虚数(i)の考え方：a＾2=-1 という数字があるとすれば、a=√(-1)
これをa=√(-1)=i という記号で書きます。だから、i＾2=-1 です。
続けると、i＾3=-i i＾4=1 i＾5=i i＾6=-1
(4) iの考えを踏まえて e^ｚi を考えてみますと、
e^zi=1+zi+(zi)＾2/2 + zi＾3/6 + (zi)＾4/24 + (zi)＾5/120 ・
e^zi=1+zi-z＾2/2 -iz＾3/6 + z＾4/24 + iz＾5/120 ・
i とiがないのを整理すると、
e^zi=｛1-z＾2/2 + z＾4/24 + ・｝+i{z-z＾3/6 + z＾5/120 ・}
となりますね。この式を(2)と比較してみてください、
e^zi=cosz+isinz になっていませんか。
ということで、z=π　を入れれば、e^πi=-1 という結果が得られるのです。
参考にしてください。

お礼

回答ありがとうございます。文系の人間は数式が並ぶと逃げ出したくなるのですが、せっかく数式を記述してくださったので、ハードコピーを取って
勉強いたします。ありがとうございました。

回答No.7

apple-man

>受験の都合上、高校数学は数I、基礎解析、微分・積分、確率・統計までで数IIIは勉強していません。

　ずいぶん懐かしい教科の名前が出てきましたね。
基礎解析ですか・・・

＞ある本でタイトルの式のことを知って

　なんという本を読んだのかできれば知りたいですね。

＞とても不思議に思い、理解してみたいと思いました。

　他の方の回答にあるように、この式は三角関数で表現
できます。つまり、何かの回転に対し、符号が変わる
（１　→　－１）ことを意味しています。

　回転させると符号（または方向）が全く違って
しまう現象、状態が世の中にはあります。
この式はそれを数学的に表現した式ですが、
具体的に何を言っているのかは、式の展開だけでなく
直感的に図や絵を書いて説明できる内容です。

　具体的には以下の本のページをご覧になられる
ことをお勧めします。

講談社　ブルーバックス「ペンローズのねじれた４次元」
　　　　ｐ１１７～ｐ１２５付近

お礼

参考文献の紹介ありがとうございます。
オイラーの公式を知った本を知りたいとのことですが、今は休刊してしまったOh!Xというシャープ系のパソコン向けの雑誌で知りました。たしか、『真夏の夜の数値演算』という特集の中の息抜きコラムの中で読んだと記憶にあります。

回答No.6

soepyon

yosh3さん紹介の本のほかに、ヒッポファミリークラブと
いうところから出てる「フーリエの冒険」がおすすめ
です。この本の中で出てきます。ただしけっこう古い
本です。

厳密な証明などがないので、しっかり勉強したい人には
イマイチですが、絵本のような感じで入門書としては
とっつきやすいと思います。

お礼

参考文献の紹介ありがとうございます。今、入手できるか分かりませんが、ネット書店をあたってみます。ありがとうございました。

回答No.5

Mell-Lily

オイラーの公式
　e^(iθ)=cosθ+i・sinθ
を理解することは、それほど難しいことではありません。オイラーの公式は、虚数乗の定義とみなすことができますが、これは、解析学におけるテーラー展開という手法を用いて自然に導かれるのです。高校で微積分を履修したのなら、あと少しの努力でテーラー展開を理解することができるでしょう。オイラーの公式は、数理科学において、非常に有用な数式です。例えば、量子力学のシュレーディンガー方程式は、オイラーの公式を用いて定式化されています。

お礼

激励のお言葉ありがとうございます。シュレーディンガーとは、あの生死不明の猫のたとえのシュレーディンガーさんですか？うーん、微分積分を確かに勉強しましたが、y=x^2をxについて微分するとy'=2xとなることくらいが限度です。なにせあくまで文系の高校生向けの微分積分であって、理系用の微分積分とは内容が違うのです。ともあれ、がんばります。

回答No.4

yosh3

ぴったりの本があります。
「オイラーの贈り物」吉田武　海鳴社
著者の序文から引用すると
本署は唯一つの式（オイラーの公式）
　　　e^ix=cos(x）+isin(x）
を理解することを目標に基礎的な数学全般の学習が一人でできるように工夫した、全く新しい形式の入門書である。
想定した読者層は、意欲あふれる中学高校生から大学一般共用の学生、数学に興味をもつ社会人などである。・・・・・

お礼

参考文献の紹介、ありがとうございます。本当のことを言うと、この本持ってます(^^;
確かに基礎的な定義や公式の証明を詳しく説明してありますが、中学高校生は途中で挫折するかも。ともあれ、再度挑戦してみましょうか！

回答No.2

rei00

『オイラーの公式』ですね。

　次のページ等，参考になりませんか。

　　◎ Euler の公式　（↓１番目）

　基礎的な高校数学には，こちら等いかがでしょうか。

　　◎ 数学ハイパーテキストしりーず　（↓２番目）

　ご参考まで。

参考URL：

http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/misc/math/euler/, http://shigihara.hp.infoseek.co.jp/math_index.htm

お礼

アドバイスありがとうございます。

回答No.1

aodesu

なんでも勉強に
意味ってことはないんではないんでしょうか。

複素関数関係の本に書いてあったような気がします。

お礼

回答ありがとうございました。複素数は知ってましたが、複素関数は初耳でした。