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3つのさいころを2回投げたとき同じ結果が出る確率…
narucrossの回答
- narucross
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こんばんは。 >自分なりに無い脳みそをフル回転させたのですがとうとうストールしてしまいました。 ストールするまでに考えたことを具体的に書いてみましょう。 さいころが区別できない場合に、どういう目がでるのか、またそれはどれだけの確率で起こるのか考えてみましょう。大切なのは手を動かして試行錯誤していく中で何らかの考察を試みることです。前者の場合なぜ、いとも容易く1/216という答えを得たのでしょうか。 それは、一回目の三つの目がなんであろうが、二回目にその同じ三つの目を引き当てることが同じ確率で起こるからですね。 だから数式的には、1*(1/6*6*6)=1/216となります。＊ 後者の問題の難しいところは、一回目の三つの目によって、二回目にその同じ三つの目を引き当てる確率が変わってくるから場合分けして考えないといけない、というところ にあります。 以後、三つの目が１と３と５だったばあいに（1,3,5）と表記することにします。(3,1,5)なども同じ意味だと考えてください。 またそうなる確率をP(1,3,5)と表記することにします。 たとえば、P（1,3,4）とP(1,1,1)が同じ値だと思いますか。直感的にP(1,1,1)の方が小さい、起こりにくそうだと分かるでしょう。つまり、一回目の目が（1,1,1）だった場合、二回目に同じ目を引き当てるのは（1,3,4）よりも困難だということです。＊＊ そんな感じでああでもないこうでもないと考えていきますと、一回目の目に同じ目がいくつあるかによって、確率が変わってくるのではという推測ができるようになります。 以後一回目の目と二回目の目が一致する確率を、一回目の目のうち同じ目がいくつあるかという観点から場合分けして考えます。注意せねばならないのは、サイコロの選び方と目の選び方両方考えなければならないということです。 (1)一回目の目のうち、同じ目が三つのとき、 一般的に(a,a,a)と書けます。aは６通りあるので、 一回目に三つとも同じ目を出す確率は、6/6*6*6=1/36です。二回目は、たとえば一回目に出した目が(1,1,1)だとすると、これと全く同じものを出さないといけないので、aが６通りあるという先ほどの考慮を取り除いて、 1/6*6*6=1/216です。両者を掛け合わせると、1/6^5となります。 こんな感じで進めていきます。 (2)一回目の目のうち、同じ目が二つのとき、 一般的に(a,a,b)と書けます。ひとつだけbという異なる目を出す仲間はずれのサイコロの選び方は、３通り、 aは６通り、bはaで選んだものを除く５通りあるので、 一回目に二つ同じ目を出す確率は、(3*6*5)/(6*6*6)=15/36です。二回目はやっぱり一回目と全く同じ目を出さないといけないので、たとえば、一回目に出した目が、(1,1,4)だったとして、これと同じものを出すことを考えます。 この目とサイコロとの対応は3通りあることが分かります。(∵どのサイコロが仲間はずれの目を出すか。つまり3通り) すなわち二回目に一回目に出した目を出す確率は、3/(6*6*6)=3/216です。一回目の結果と掛け合わせると、45/6^5となります。 (3)一回目の目のうち、重複する目がないとき、 一般的に(a,b,c)と書けます。aは６通り、bは５通り、cは４通りなので、一回目にそのような目を出す確率は、 (6*5*4)/(6*6*6)=20/36です。一回目例えば(1,3,4)の目だったとして、これと同じものを出すことを考えます。 この目とサイコロとの対応は6通りあることが分かります。(∵一番大きな目をどのサイコロで出すか、二番目に大きな目をどのサイコロで出すか、残りものはそのまま対応。つまり、3*2=6) すなわち二回目に一回目に出した目を出す確率は、6/(6*6*6)=6/216です。一回目の結果と掛け合わせると、120/6^5となります。 あとは、足し算です。 (1+45+120)/(6^5)=83/3888となって、質問者様の提示された解答と一致しました。 おそらく頭を悩ませるのは、二回目の目の確率が、一回目に出した目をもう一度出す確率とは異なるというところにあります。単純に一回目の確率を二乗してしまってはいけ ないということです。（余談ですが、私は初め誤ってこの方法で解いてしまい、313/432というありえない高確率を得ました） 二回目の確率はそれぞれ順に、1/216,3/216,6/216ですが、この確率の差は、＊＊で触れた通り、一回目の目によって生じる、「二回目に目が一致する確率」の差だということ です。この差こそが、さいころを区別できるか否かの違いによるものだと理解できます。この差がなければ、＊で触れたとおり、まとめて計算できるわけですから。 分かりにくい説明だと思いますが、理解の助けになれば幸いです。
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