極座標に関する計算

質問

次の関係図から関係式が得られるのですが、導出できません。

直交座標系と極座標系の関係図において、よくあるように
仰角θと方位角φと原点からの長さrのベクトルAを考えます。
その際にrからθ’だけ傾いた方向にも原点からのベクトルBを考えます。
この時に、ベクトルBの方向とZ軸の間の角度はΘです。
その際に以下の関係式が成立する…とあるのですが、
どのように導出できるのでしょうか。
どうかご教示いただけないでしょうか。

cosθ’=sinΘsinθcosφ+cosΘcosθ

回答No.3

noname#168349 · ベストアンサー

こちらこそ、早合点してしまい申し訳ありません。

方針としては、↑A方向の単位ベクトル↑aと、↑B方向の単位ベクトル↑bの内積をとればよいです。
すなわち
cosθ'=↑a・↑b

これに、デカルト座標における成分表示で↑a、↑bを代入します。

お礼

uto-piaさま

早速計算してみます。
何かあればまたお知恵をお貸しください。
よろしくお願いいたします。

回答No.4

noname#66248

θ’を求めるのにψは関係しないように思えます。

ベクトルBがベクトルAと重なっている状態から、仰角がΘ-θ増加し、
次いで方位角がψ'増加したと考えます。
このときベクトルBの位置ベクトルの軌跡は、直角三角形の
三つの頂点を通ります。
これから、余弦法則を用いて
r^2+r^2-2r^2・cosθ'=(r^2+r^2-2r^2・cosψ')+{r^2+r^2-2r^2・cos(Θ-θ)}
式をまとめて、
cosθ'=cosψ'+cos(Θ-θ)-1　　　　　（1）

また、ベクトルBのベクトルA方向成分は
r・cosθ'={r・cos(Θ-θ)}・cosψ'　　　　（2）
ですから（1）式を
cosψ'=1+cosθ'-cos(Θ-θ)
として（2）式に代入すると
cosθ'=cos(Θ-θ)・{1+cosθ'-cos(Θ-θ)}
cos(Θ-θ)=u とおいて整理すると
cosθ'(1-u)=u(1-u)
Θ≠θと考えてよいから、1-u≠0

∴　cosθ'=u=cos(Θ-θ)

従って、cosθ'=cosΘcosθ+sinΘsinθ　となります。

お礼

mucho_tomaさま

丁寧な解説ありがとうございます。
図に起こしながら、勉強させていただきます。

回答No.2

noname#77472

わりーけど、球面三角法いじっただけにしか見えん。

今日も元気だランランラン。
つ＾＿＾；）つ

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%90%83%E9%9D%A2%E4%B8%89%E8%A7%92%E6%B3%95

お礼

球面三角法とは初めてしりました。
確かに式はそっくりそのままですね・・・
しかし球面上の関係と中心を原点としたときの極座標の関係が結びついてくれません・・・
ありがとうございました。
勉強させていただきます。

回答No.1

noname#168349

cosθ’=sinΘsinθ+cosΘcosθ
ではありませんか？

お礼

私の文章がいけないのだと思います。
Θ=θ+θ’
と考えるとそのようになりそうです。
でもベクトルAとｚ軸の作る面と、ベクトルBとz軸も作る面は同一面ではないのですが、その場合もやはりΘ=θ+θ’なのでしょうか？？？
さっそくのアドバイスありがとうございました。