確率密度・・・ 電球の寿命

質問

3個の電球からなる信号がある．
電球の寿命x（年）の確率密度f(x)は，
f(x)=cx(2-x) ,0≦x≦2
f(x)=0, その他
と書ける．
という問題があります．
ここで定数ｃを定めよという設問があり，これは解き方が分かるのですが，
設問2の「電球が6ヶ月より長い寿命をもつ確率」，
設問3の「信号が製造されてから6ヶ月以内に故障する確率」
の解き方が分かりません．
教えてください．お願いします．

回答No.3

kumipapa · ベストアンサー

＞　「定数 c を求めよ」
0 ≦ x ≦ 2 で確率密度関数 f(x) が正で、他では 0 なのですから x = 0 から x = 2 まで f(x) を積分した値が 1 になるように c を定めればよいです。

＞　「電球が 6 ヶ月より長い寿命をもつ確率」
寿命が 6 ヶ月 ( = 0.5 年 ) 以上の確率ですから、(1) で求めた確率密度関数を x = 0.5 から x = 2 まで積分すればよいです。

＞　「信号が製造されてから 6 ヶ月以内に故障する確率」
普通は
故障する確率　＝　１－（故障しない確率）
と考えて計算します。
0.5 年以内で電球が 3 個とも壊れない確率　＝　( 3個ともに寿命が 0.5 年以上 ) ＝　( 1 個の寿命が 0.5 年以上)^3　　（← ^3 は 3乗の意)
ですから、
信号が0.5年以内に壊れる確率 = １ - ( 寿命が 0.5 年以上 )^3
と計算します。
上で求めた「寿命が 6 ヶ月以上の確率」を 3 乗して 1 から引けばよいのです。

#1 さんへの補足より
＞　例えば3個故障の場合なら，0から0.5で積分して，それが3つあると考えればよいのですか？？
A,Bが独立な事象であるとき、その積事象（AかつB）の確率は（Aの確率）×（Bの確率）です。
電球がA,B,Cと 3 つあるとき、それぞれの電球が壊れる確率が互いに影響し合わない（独立である）ならば、
A,B,Cが3つとも壊れる確率 = (Aが壊れる確率) × (Bが壊れる確率) × (Cが壊れる確率)
　　　　　　　　　　　　　= (電球が壊れる確率)^3
実際には、この問題を1個壊れる、2個壊れる、3個壊れるのように場合わけして解くようなことはせず、普通は上で述べたように 1 - (壊れない確率) で計算しますが。

お礼

詳しい解説，及び補足ありがあとうございました．
大変参考になりました．

回答No.2

ymmasayan

No.1です。
設問２で求めた確率をＡとすると設問３で使う確率はＡと(１－Ａ)です。
３つとも故障：3Ｃ3（１－Ａ）^3
２つだけ故障：3Ｃ2＊（１－Ａ）^2＊Ａ
１つだけ故障：似たようなやり方で出来ます。
この和が答えです。

お礼

回答ありがとうございます．

回答No.1

ymmasayan

設問２：確率密度を０．５から２まで積分すればいいですね。
設問３：上の確率から６ヶ月以内に故障する確率が求まります。
　　信号機の故障確率は電球３個故障、２個のみ故障(３ケース)、１個のみ故障(３ケース)の確率を求めれば
　　すぐ計算できるでしょう。

補足

ありがとうございます．
設問２は「確率密度を指定区間で積分」でよいのですね．
設問３の故障の確率は，
例えば3個故障の場合なら，0から0.5で積分して，
それが3つあると考えればよいのですか？？