数式からの証明2

質問

T(p1,p2,He)=p1(1-p1)(1-p2)(1-p2)^He * Σ{(0.1*H+i*0.2)(1-(1-p2)^He)^(i-1)}+0.1*H(1-p1)
という3変数の数式があります。（Hは定数）

p1、p2は定数として，Heの値は大きくした場合にTが小さくなるのか、小さくした場合に小さくなるのかについて証明する方法があればご教授ください。

さらに、p1<p2の場合とp1>p2の場合のどちらが、Tが小さくなるのか証明方法がわかる方、ご教授ください。

よろしくお願いいたします。

回答No.1

stomachman

実務でお困りなのでしょうか。

Σは（はっきりしませんが）多分、i=1,2,…,∞の総和、ってことでしょうかね。
また、冪乗を考えるんだから
1-p2 > 0
なのでしょう。

ごちゃごちゃ見づらいので、
x=He, r=1-p2, f = 10T
と置き換えて、
f(x) = 10T(p1,p2,x) = H(1-p1) + p1(r^(x+2))*Σ{(H+2i)(1-r^x)^(i-1)}
とします。
f(x) = H(1-p1) + p1(r^(x+2))*( (H+2)Σ{(1-r^x)^(i-1)} + 2 Σ{(i-1)(1-r^x)^(i-1)} )
ここで
Σ{(1-r^x)^(i-1)} = 1/(r^x)
Σ{(i-1)(1-r^x)^(i-1)} = (1-r^x)/(r^(2x))
だから
f(x) = H(1-p1) + p1(r^(x+2))*((H+2)/(r^x) + 2(1-r^x)/(r^(2x)))
= H(1-p1) + p1H(r^2) + 2p1(r^2)/(r^x)
だいぶ簡単になりました。

＞ Heの値は大きくした場合にTが小さくなるのか、小さくした場合に小さくなるのか
＞ p1<p2の場合とp1>p2の場合のどちらが、Tが小さくなるのか

もう分かるんじゃないでしょうか。でも、まずはExcel等でグラフを描いてみるところからやってみては？