天井からばねをつるして、おもりをつるしたとき、式が矛盾してませんか？

質問

他のところでも質問したんですが、よく分からなかったので、出来れば分かりやすく教えてくれませんか？
おもりの質量ｍ、重力ｇ、ばね定数ｋ、おもりをつるしたときのばねの伸びた長さをｘとして、

おもりにはたらく力のつり合い式は、ｍｇ＝ｋｘ
力学的エネルギー保存則の式は、ｍｇｘ＝1/2ｋｘ＾２乗、
たとえばｋについて解くと、
上の式はｋ＝ｍｇ/ｘ、
下の式はｋ＝２ｍｇ/ｘとなり、下の式のほうが２倍になります。これはどこが間違っているのでしょうか。

回答No.8

meeres

天井からつるしたばねの自然長での位置をＯ点、
このばねに質量ｍのおもりをつけてつるし静止させた位置をＡ点とすると、
Ａ点では、ｍｇ(おもりの重さ) ＝ ｋｈ(ばねの力)
というつりあいの関係が成り立ちます。
（ｇ：重力加速度　ｋ：ばね定数　ｈ：ＯＡ間の高さ）

一方、ばねの先端につけた質量ｍのおもりを自然落下させた場合、
おもりはＡ点では静止せず、Ａ点を通過しＢ点まで達し、一瞬停止した後、
再びＡ点を通過しＯ点まで戻り、この動作を永遠に繰り返すはずです。
（空気抵抗や熱の発生等はゼロと仮定）

Ｂ点では、運動エネルギーはゼロなので、
Ｏ点からＢ点までの高さを、ｈ’とすると、
エネルギー保存の法則　ｍｇｈ'＝（1/2）ｋｈ'^2 が成り立ちます。

この式を、ｈ'　で約分し２倍すると、
　　　　２ｍｇ ＝ ｋｈ' 　となり、
Ｂ点でばねがおもりを引っ張る力は、おもりの重さの２倍であることがわかります。

　しかし実際には、空気の抵抗や、ばねの伸び縮みによる内部熱の発生などで、エネルギーは徐々に失われ、やがて、おもりの重さとばねの力がつりあうＡ点で静止します。

回答No.7

meeres

天井からつるしたばねの自然長での位置をＯ点、
このばねに質量ｍのおもりをつけてつるし静止させた位置をＡ点とすると、
Ａ点では、ｍｇ(おもりの重さ) ＝ ｋｈ(ばねの力)
というつりあいの関係が成り立つ。
（ｇ：重力加速度　ｋ：ばね定数　ｈ：ＯＡ間の高さ）

一方、ばねの先端につけた質量ｍのおもりを自然落下させた場合、
おもりはＡ点では静止せず、Ｂ点まで達し、一瞬停止した後、
再びＡ点までもどり、この動作を永遠に繰り返す。
（空気抵抗等はゼロと仮定）

Ｂ点では、運動エネルギーはゼロなので、
Ｏ点からＢ点までの高さを、ｈ’とすると、
エネルギー保存の法則　ｍｇｈ'＝（1/2）ｋｈ'^2 が成り立つ。

この式を、ｈ'　で約分し２倍すると、
　　　　２ｍｇ ＝ ｋｈ' 　となり、
Ｂ点でばねがおもりを引っ張る力は、おもりの重さの２倍であることがわかる。

　ちなみに、これは、位置エネルギー、運動エネルギー、弾性エネルギー
のみが存在すると仮定して、エネルギー保存の法則を考えています。
　しかし、現実には、空気抵抗やばねの伸び縮みによる内部熱などで、エネルギーは徐々に失われ、振動は減衰し、やがて、重力とばねの力がつりあう点で静止します。

回答No.6

htms42

＃４です。

＃５様のご指摘の通り
＞つりあいの式とエネルギー保存の式は両立しません。
は意味不明ですね。
＃４の中では両方使っているのですから。

「自然長のときと釣り合いが実現しているときとに対してエネルギー保存を考えるのは出来ない」という意味でした。
自然長の時のエネルギーが保存していれば振動が続くのですからつりあいは実現しません。質問文の中でこの2つの状態に対して保存則が成り立つとしていることに対して書いたつもりだったのですが。
すみませんでした。

バネの持っていたエネルギーのなかの運動エネルギー分は失われています。減衰で失うか、手で支えながら静かに位置を下げることで手に移るかのどちらかだろうと思います。

回答No.5

fine001

＃２、＃３、＃４の回答が正しいと思いますが。
質問を読んでいると、質問者がつりあい位置でおもりが静止している場合をイメージしているのかな？と感じるところがあり、そのようなイメージで考えてみなす。
力学的エネルギー保存則というのは、保存力（ここでは重力とバネの弾性力）のみが働いているときに、ある状態と別の状態を比較したとき、力学的エネルギーの総量は変化がない、つまり保存しているということを表しています。
ですから、どの状態とどの状態を考えるのかと云うように2つの状態を想定する必要があります。では、第1の状態がばねは自然長でおもりは静止している状態だとします。第2の状態はばねはxのびてつり合い状態にあるって、おもりは静止している状態とします。
第1の状態から第2の状態に変化させるときには、手で支えるなどして静かにおもりを移動させる必要があります。つまり、手がおもりを支える力が働くわけです。この力は保存力ではありませんから、力学的エネルギー保存則を立てることが間違っています。ここでは、エネルギー原理などといわれることもある、力学的エネルギーと仕事の関係を用いる必要があります。即ち、力学的エネルギーの変化は、その間にされた仕事に等しい。
重力の位置エネルギーの基準水平面を、つりあいの位置にしましょう。
第1の状態では、おもりは高さxにありますから、重力の位置エネルギーはmgx、おもりは静止しているので運動エネルギーは0。バネは伸びていませんので弾性力による位置エネルギー（弾性エネルギー）は0。
力学的エネルギーは　E1＝mgx
第2の状態では、重力による位置エネルギーは、基準水平面上にあるから0。おもりは静止しているので運動エネルギーは0。バネは自然長からx伸びているので、弾性エネルギーは1/2kx^2。
したがって、E2＝1/2kx^2
この間、手がおもりを支えてる力は、鉛直上向きに　mg-ky　です。
ここでyは自然長からの変位です。この力で、鉛直下向きにyが0からxまで移動させるので、手がおもりにする仕事はW=-mgx+1/2kx^2
[力学的エネルギーの変化]　E2-E1=1/2kx^2-mgx=W　[外部からされた仕事]
です。
つりあいの式は、使えますから　mg=kx　したがって　mgx=kx^2
[力学的エネルギーの変化]　E2-E1=-1/2kx^2=W　[外部からされた仕事]
解釈は、第1状態から第2状態に変化する時、おもり・バネ系は、手に対して1/2kx^2の仕事をしたので、力学的エネルギーが減少したわけです。

ちなみに、＃４の方の「つりあいの式と力学的エネルギー保存則は両立しません」とはどう意味でしょうか？

回答No.4

htms42

つりあいの式とエネルギー保存の式は両立しません。

自然長の位置を基準にしたとします。（下向きを正とします。）
そこからａ下の位置でつりあっているとします。
つりあいの式は　ｍｇ＝ｋａ　です。
自然長の位置でおもりを静かに離したとします。
つりあいません。つりあいの位置を中心とする振動をします。振幅がａになります。この振動が減衰して運動エネルギーを失ってしまうとつりあいの位置で止まります。
エネルギー保存の式は減衰を考えていませんのでつりあいの位置は速さ最大で通過します。

ｍｇａ＝（1/2）ｋａ^２
は運動エネルギーが０の式ですから保存の式にはなっていません。
(1/2)ｍｖ^２＋(1/2)ｋｘ^２－ｍｇｘ＝０
にｍｇ＝ｋａを代入すると
(1/2)ｍｖ^２＝ｋａｘ－(1/2)ｋｘ^２　　(※）
　　ｍｖ^２＝ｋｘ（２ａ－ｘ）
０＜ｘ＜２ａですのでおもりはこの範囲で振動します。振動の中心はｘ＝ａです。このときの速さは
ｖ^２＝(ｋ／ｍ)ａ^２
です。
振動が減衰して止まる位置は伸びがａの位置です。
バネ定数はこのときの関係です。

ついでに
式(※）を変形してみます。
(1/2)ｍｖ^２＝ｋａｘ－(1/2)ｋｘ^２　
　　　　　　＝(1/2)ｋａ^２－(1/2)ｋ(ａ－ｘ)^２
(1/2)ｍｖ^２＋(1/2)ｋ(ａ－ｘ)^２＝(1/2)ｋａ^２

これは振動の中心を基準とするエネルギー保存の式です。弾性エネルギーは自然長からの伸びではなくてつりあいの位置からの伸びになっています。その代わりに重力の位置エネルギーは消えてしまいました。バネを横に置いたときと同じになっています。
重力は釣り合いの位置を移すのに働いています。新しい釣り合いの位置を基準にすると重力は消えてしまうのです。
自然長と考えている位置も実はバネ自体の重さで伸びている釣り合いの位置ですから矛盾はありません。

回答No.3

5-9ball

保存則の式は

mgx=1/2kx^2＋1/2mv^2が正解だとおもいます。

また、1/2kx~2=1/2mv~2となるので
http://www2.biglobe.ne.jp/~norimari/science/jyugyo/5a-energyAns.pdf

矛盾は生じないかと思います。

間違っていたら、善意の人の修正をお願いします。

回答No.2

chiezo2005

＞力学的エネルギー保存則の式は、ｍｇｘ＝1/2ｋｘ＾２乗、
これが違います。

重力の位置エネルギー変化（左辺）がばねの位置エネルギー（右辺）と等しくありません。

ちょっと考えてみればわかりますが，おもりを初期位置X=0の場所でばねにつないで離すとつりあいの位置Xのところは通りすぎて振動を始めます。
つまりつりあいの位置＝位置エネルギー変化ｍｇｘの場所では
エネルギーとして右辺のばねに蓄えられるエネルギーの変化＋おもり運動エネルギーが存在します。
これと位置エネルギー変化ｍｇｘが等しいというのが正しいエネルギー保存則になります。
つまり
ｍｇｘ＝1/2ｋｘ＾２乗＋おもりの運動エネルギー

実際に問題の実験をイメージしてみると，
１．ばねにおもりをつける。
２．ゆっくりおもりを下げてつりあいの位置で止める。
という作業が必要ですが，
このゆっくりおもりを下げると言う動作で運動エネルギーを増加させないようにしています（準静的過程といいます）。
このときに，おもりには重力からその場所のばねの力の差を加えていることになります。
つまり初めはmg,少しずつ減っていって，つりあいの点では0です。

回答No.1

mmmma

天井を忘れてます。

吊り下げているとイメージが湧きにくいので、両手でばねを引っ張る状況をイメージしてください。

右手でｍｇの力で引っ張れば、左手もｍｇで引っ張らないと釣り合いませんよね。